Quadripotencial eletromagnético

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O quadripotencial eletromagnético é um quadrivetor definido em unidades SI (e unidades gaussianas em parênteses) como

A^{\alpha}=\left(\frac{\phi}{c}, \vec A \right) \qquad \left(A^a=(\phi, \vec A)\right)

na qual \phi é o potencial elétrico, e \vec A é o potencial magnético, um vetor potencial.

Os campos elétricos e magnéticos associados com estes quadripotenciais são:

\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}   \qquad   \left( -\vec{\nabla} \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right)
\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}

Ele é útil para agrupar os potenciais nesta forma porque A_{\alpha} é um vetor covariante de Lorentz, significando que ele transforma-se do mesmo modo como as coordenadas espaço-tempo (t, x) sob transformações no grupo de Lorentz: rotações e transformação de Lorentz. Como resultado, o produto interno

A^{\alpha} A_{\alpha} = |\vec{A}|^2 -\frac{\phi^2}{c^2} \qquad  \left(A^a A_a \, = |\vec{A}|^2 - \phi^2 \right)

é o mesmo em cada quadro referencial inercial.

Frequentemente, físicos empregam a condição gauge de Lorenz \partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0 para simplificar as equações de Maxwell como:

\Box^2 A_{\alpha} = -\mu_0 J_{\alpha}   \qquad   \left( \Box^2 A_{\alpha} = -\frac{4 \pi}{c} J_{\alpha} \right)

onde J_\alpha são os componentes do quadricorrente,

e

\Box^2 = \nabla^2 -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2} {\partial t^2} é o operador d'Alembertiano.

Em termos dos pontenciais escalar e vetorial, esta última equação torna-se:

\Box^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}    \qquad   \left(\Box^2 \phi = -4 \pi \rho \right)
\Box^2 \vec{A} = -\mu_0 \vec{j}   \qquad   \left( \Box^2 \vec{A} = -\frac{4 \pi}{c} \vec{j} \right)


Referências[editar | editar código-fonte]

  • Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
  • Jackson, J D (1999). Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. ISBN ISBN 0-471-30932-X.
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