Quantização (física)

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Em física, uma quantização é um procedimento matemático para construir um modelo quântico para um sistema físico a partir de sua descrição clássica.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética (\mathcal{M},\omega) pode ser definida1 formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert \mathcal{H} tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico f_i\, se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos \hat{f}_i tais que:

  1. (f_i+f_j)\hat{} = \hat{f}_j + \hat{f}_j
  2. (\lambda f_i)\hat{} = \lambda \hat{f}_j \qquad \lambda \in \R
  3. \{ f_i, f_j \} \hat{} = -i [\hat{f}_i,\hat{f}_j]
  4. \hat{1} = I_\mathcal{H}
  5. Os operadores de posição \hat{q}_i e seus momentos conjugados \hat{p}_i atuam irreduzivelmente sobre \mathcal{H}.

Onde I_\mathcal{H} é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, \{ \cdot , \cdot \} é o parênteses de Poisson e [ \cdot , \cdot ] é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar \mathcal{H} \approx L^2(\R^n) e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

\hat{q}_i \psi(q_i) = q_i \psi(q_i) \qquad 
\hat{p}_i \psi(q_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i} \psi(q_i)


Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

\hat{p}_i \psi(p_i) = p_i \tilde{\psi}(p_i) \qquad 
\hat{q}_i \psi(p_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial p_i} \tilde{\psi}(p_i)


Sistemas quantizáveis[editar | editar código-fonte]

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética (\mathcal{M},\omega) se chama quantizável se existe um S^1-fibrado principal \pi:\mathcal{Q_M} \to \mathcal{M} e uma 1-forma \alpha\; sobre \mathcal{Q_M}, chamada variedade de quantização, tal que:

  1. \alpha\; é invariante sob a ação de S^1 [\approx U(1)]
  2. \pi^*\omega = d\alpha\;

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

(\mathcal{M},\omega) é quantizável se e somente se \omega/h \in H^2(\mathcal{M},\mathbb{Z}),

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de H^1(\mathcal{M},\mathbb{Z})

Primeira quantização[editar | editar código-fonte]

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.

  • A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos Pi e Qi que satisfazem as relações [Qi,Pi] = ih/2π, [Qi,Qj] = 0, [Pi,Pj] = 0 e [Qi,Pj] = 0.
  • A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço L^2(\mathbb{R}^n) para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia \mathbb{R}^{2n}. Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

Segunda quantização[editar | editar código-fonte]

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.

  • Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
  • Quantização canônica covariante.
  • Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
  • Quantização geométrica.
  • Aproximação variacional de Schwinger.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Abraham & Marsden, 1985.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
  • M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
  • Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)
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