Quantização (física)

Em física, uma quantização é um procedimento matemático para construir um modelo quântico para um sistema físico a partir de sua descrição clássica.

Definição formal

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética $(\mathcal{M},\omega)$ pode ser definida formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert $\mathcal{H}$ tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico $f_i\,$ se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos $\hat{f}_i$ tais que:

1. $(f_i+f_j)\hat{} = \hat{f}_j + \hat{f}_j$
2. $(\lambda f_i)\hat{} = \lambda \hat{f}_j \qquad \lambda \in \R$
3. $\{ f_i, f_j \} \hat{} = -i [\hat{f}_i,\hat{f}_j]$
4. $\hat{1} = I_\mathcal{H}$
5. Os operadores de posição $\hat{q}_i$ e seus momentos conjugados $\hat{p}_i$ atuam irreduzivelmente sobre $\mathcal{H}$.

Onde $I_\mathcal{H}$ é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, $\{ \cdot , \cdot \}$ é o parênteses de Poisson e $[ \cdot , \cdot ]$ é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar $\mathcal{H} \approx L^2(\R^n)$ e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

$\hat{q}_i \psi(q_i) = q_i \psi(q_i) \qquad \hat{p}_i \psi(q_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i} \psi(q_i)$

Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

$\hat{p}_i \psi(p_i) = p_i \tilde{\psi}(p_i) \qquad \hat{q}_i \psi(p_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial p_i} \tilde{\psi}(p_i)$

Sistemas quantizáveis

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética $(\mathcal{M},\omega)$ se chama quantizável se existe um $S^1$-fibrado principal $\pi:\mathcal{Q_M} \to \mathcal{M}$ e uma 1-forma $\alpha\;$ sobre $\mathcal{Q_M}$, chamada variedade de quantização, tal que:

1. $\alpha\;$ é invariante sob a ação de $S^1 [\approx U(1)]$
2. $\pi^*\omega = d\alpha\;$

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

$(\mathcal{M},\omega)$ é quantizável se e somente se $\omega/h \in H^2(\mathcal{M},\mathbb{Z})$,

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de $H^1(\mathcal{M},\mathbb{Z})$

Primeira quantização

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.

• A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos P_i e Q_i que satisfazem as relações [Q_i,P_i] = ih/2π, [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0 e [Q_i,P_j] = 0.
• A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço $L^2(\mathbb{R}^n)$ para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia $\mathbb{R}^{2n}$. Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

Segunda quantização

Ver artigo principal: Segunda quantização

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.

• Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
• Quantização canônica covariante.
• Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
• Quantização geométrica.
• Aproximação variacional de Schwinger.

Referências

Bibliografia

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)