Quaternião hiperbólico

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Na matemática, um quaternião hiperbólico ^{(português europeu)} ou quatérnio hiperbólico ^{(português brasileiro)} é um conceito matemático sugerido primeiramente por Alexander MacFarlane em 1891 em um discurso na Associação Americana para o Avanço da Ciência. A ideia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associatividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicos são uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

Estrutura algébrica

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiperbólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os números reais de dimensão 4. Uma combinação linear

$q=a+bi+cj+dk$

é um quaternião hiperbólico quando $a,$ $b,$ $c,$ e $d$ são números reais e o conjunto da base {$1,i,j,k$} tem estes produtos:

$ij=k=-ji$

$jk=i=-kj$

$ki=j=-ik$

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=1$

Ao contrário dos quaterniões de Hamilton, de que estes são um forma modificada, os quaterniões hiperbólicos não são associativos. Por exemplo, $(ij)j=kj=$ $-i,$ quando $i(jj)=i.$ As primeiras três relações mostram que os produtos dos elementos (não-reais) da base são anticomutativos. Embora esse conjunto da base não forme um grupo, o conjunto

$\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$

forma um quasegrupo. Note também que todo o subplano do conjunto M de quaterniões hiperbólicos que contenham o eixo real forma um plano de números complexos hiperbólicos. Se

$q*=a-bi-cj-dk$

é o conjugado de $q,$ então o produto $q(q*)=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}$

é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. A forma bilinear chamada de produto interno de Minkowski surge como a parte real com o sinal invertido do produto dos quaterniões hiperbólicos $pq*:$

$-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}.$

Note que o conjunto das unidades $U=$ {$q:qq*\neq 0$} não é fechado sob a multiplicação.

Ver também

• Quaterniões
• Número complexo
• Número complexo hiperbólico

Referência

• MacFarlane (1891) "Principles of the Algebra of Physics" Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 40:65-117.
• MacFarlane (1900) "Hyperbolic Quaternions" Proceedings of the Royal Society at Edinburgh, 1899-1900 session, pp. 169–181.
• Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions