Quaterniões hiperbólicos

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Na matemática, um quaternião hiperbólico (português europeu) ou quatérnio hiperbólico (português brasileiro) é um conceito matemático sugerido primeiramente por Alexander MacFarlane em 1891 em um discurso na Associação Americana para o Avanço da Ciência. A idéia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associatividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicos são uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

Estrutura algébrica[editar | editar código-fonte]

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiperbólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os números reais de dimensão 4. Uma combinação linear

q = a + bi + cj + dk\,

é um quaternião hiperbólico quando a\,, b\,, c\,, e d\, são números reais e o conjunto da base {1, i, j, k\,} tem estes produtos:

ij = k = - ji\,

jk = i = - kj\,

ki = j = - ik\,

i^2 = j^2 = k^2 = 1\,

Ao contrário dos quaterniões de Hamilton, de que estes são um forma modificada, os quaterniões hiperbólicos não são associativos. Por exemplo, (ij) j = kj =\, - i\,, quando i (jj) = i\,. As primeiras três relações mostram que os produtos dos elementos (não-reais) da base são anticomutativos. Embora esse conjunto da base não forme um grupo, o conjunto

{1, i, j, k, - 1, - i, - j, - k\,}

forma um quasigrupo. Note também que todo o subplano do conjunto M de quaterniões hiperbólicos que contenham o eixo real forma um plano de números complexos hiperbólicos. Se

q * = a - bi -cj -dk\,

é o conjugado de q\,, então o produto q (q *) = a^2 - b^2 - c^2 - d^2\,

é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. A forma bilinear chamada de produto interno de Minkowski surge como a parte real com o sinal invertido do produto dos quaterniões hiperbólicos pq *\, :

- p_0q_0 + p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3\,.

Note que o conjunto das unidades U =\, {q: qq * \ne 0\,} não é fechado sob a multiplicação.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referência[editar | editar código-fonte]

  • MacFarlane (1891) "Principles of the Algebra of Physics" Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 40:65-117.
  • MacFarlane (1900) "Hyperbolic Quaternions" Proceedings of the Royal Society at Edinburgh, 1899-1900 session, pp. 169–181.
  • Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions