Quaterniões hiperbólicos

Na matemática, um quaternião hiperbólico ^{(português europeu)} ou quatérnio hiperbólico ^{(português brasileiro)} é um conceito matemático sugerido primeiramente por Alexander MacFarlane em 1891 em um discurso na Associação Americana para o Avanço da Ciência. A idéia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associatividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicos são uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

Estrutura algébrica

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiperbólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os números reais de dimensão 4. Uma combinação linear

$q = a + bi + cj + dk\,$

é um quaternião hiperbólico quando $a\,$, $b\,$, $c\,$, e $d\,$ são números reais e o conjunto da base {$1, i, j, k\,$} tem estes produtos:

$ij = k = - ji\,$

$jk = i = - kj\,$

$ki = j = - ik\,$

$i^2 = j^2 = k^2 = 1\,$

Ao contrário dos quaternions de Hamilton, de que estes são um forma modificada, os quaterniões hiperbólicos não são associativos. Por exemplo, $(ij) j = kj =\,$ $- i\,$, quando $i (jj) = i\,$. As primeiras três relações mostram que os produtos dos elementos (não-reais) da base são anticomutativos. Embora esse conjunto da base não forme um grupo, o conjunto

{$1, i, j, k, - 1, - i, - j, - k\,$}

forma um quasigrupo. Note também que todo o subplano do conjunto M de quaterniões hiperbólicos que contenham o eixo real forma um plano de números complexos hiperbólicos. Se

$q * = a - bi -cj -dk\,$

é o conjugado de $q\,$, então o produto $q (q *) = a^2 - b^2 - c^2 - d^2\,$

é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. A forma bilinear chamada de produto interno de Minkowski surge como a parte real com o sinal invertido do produto dos quaterniões hiperbólicos $pq *\,$ :

$- p_0q_0 + p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3\,$.

Note que o conjunto das unidades $U =\,$ {$q: qq * \ne 0\,$} não é fechado sob a multiplicação.

Ver também

• Quaterniões
• Número complexo
• Número complexo hiperbólico

Referência

• MacFarlane (1891) "Principles of the Algebra of Physics" Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 40:65-117.
• MacFarlane (1900) "Hyperbolic Quaternions" Proceedings of the Royal Society at Edinburgh, 1899-1900 session, pp. 169–181.
• Alexander Macfarlane and the Ring of Hyperbolic Quaternions