Quatro quatros

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O objetivo do problema dos quatro quatros é formar números inteiros usando quatro algarismos 4 e operações aritméticas elementares. Por exemplo, para formar o número 3, podemos fazer 3 = (4 + 4 + 4) / 4.

Problema[editar | editar código-fonte]

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros.

Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas, sem envolver letras ou inventar funções apenas para resolver o problema. Entusiastas têm resolvido o problema para mesmo além dos 10.000 primeiros inteiros.

Operações utilizadas[editar | editar código-fonte]

Para encontrar as soluções para este problema, foram empregados os seguintes sinais da matemática:

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Fórmula Geral[editar | editar código-fonte]

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chamas e Roger Chamas,[1] é a que todo número natural n pode ser representado através da fórmula abaixo:

n = - \frac{log_\sqrt{4} \left(log_\sqrt{4}\;  \left( \begin{matrix} 4n+1\;\mbox{radicais} \\ \overbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{4}}}}  \end{matrix} \right)\right) }{4}\,\!

Na formula alternativa abaixo, o número de raízes quadradas no termo da direita é igual ao número que se quer representar na esquerda. Os termos com a mesma cor são equivalentes.

alt =Fórmula do termo geral para o problema dos quatro quatros

Soluções (até o 103)[editar | editar código-fonte]

Soluções
0 = 44-44\,\! 26 = 4!+\frac{4+4}{4}\,\! 52 = 4?*4?-(4!+4!)\,\! 78 = 4?*(4+4)-\sqrt{4}\,\!
1 = \frac{44}{44}\,\! 27 = 4!+4-\frac{4}{4} \,\! 53 = (4?)?-\sqrt{4}-4+4 \,\! 79 = (4?)?+4?+4?+4 \,\!
2 = \frac{4}{4} + \frac{4}{4}\,\! 28 = (4+4)*4-4\,\! 54 = 4!+4!+\sqrt{4}+4\,\! 80 = 4*4?+4*4?\,\!
3 = \frac{4*4-4}{4}\,\! 29 = 4!+4+\frac{4}{4}\,\! 55 = (4?)?+4-\sqrt{4}-\sqrt{4}\,\! 81 = (4-\frac{4} {4})^4\,\!
4 = \frac{4-4}{4} + 4\,\! 30 = \left(4-\frac{4}{4}\right)*4?\,\! 56 = 4*4+4?*4\,\! 82 = 4?*(4+4)+\sqrt{4}\,\!
5 = \frac{4*4+4}{4}\,\! 31 = \frac{4?*4?+4!}{4}\,\! 57 = (4?)?+4-4+\sqrt{4}\,\! 83 = (4?)?+4!+\sqrt{4}+\sqrt{4}\,\!
6 = 4+\frac{4+4}{4}\,\! 32 = 4?*4-4-4\,\! 58 = (4?)?+4-\frac{4}{4}\,\! 84 = 4?*4?-4*4\,\!
7 =  \frac{44}{4}-4\,\! 33 = 4?+4!-\frac{4}{4}\,\! 59 = (4?)?+4-4+4\,\! 85 = (4?)?+4?+4?+4?\,\!
8 = \frac{4+4}{4}*4\,\! 34 = 4?+4?+4?+4\,\! 60 = 4*4*4-4\,\! 86 = 4?*4?-4-4?\,\!
9 = 4+4+\frac{4}{4}\,\! 35 = 4?+4!+\frac{4}{4}\,\! 61 = (4?)?+4+4-\sqrt{4}\,\! 87 = (4?)?+4*(4+4)\,\!
10 = \frac{44-4}{4}\,\! 36 = (4+\sqrt{4}\,)*(4+\sqrt{4}\,)\! 62 = \frac{4?*4?+4!}{\sqrt{4}}\,\! 88 = \sqrt{4}*(4?*4+4)\,\!
11 = 4?+4^{4-4}\,\! 37 = (4?)?-4!+4+\sqrt{4}\,\! 63 = \frac{4^{4}-4}{4}\,\! 89 = (4?)?+(4?)?-(4+\sqrt{4})\,\!
12 = 4?+\frac{4+4}{4}\,\! 38 = 4!+4*4-\sqrt{4}\,\! 64 = 4^{4-\frac{4}{4}}\,\! 90 = (4?)?+(4?)?-4?-4?\,\!
13 = 4?+4-\frac{4}{4}\,\! 39 = 4?*4-\frac{4}{4}\,\! 65 = \frac{4^{4}+4}{4}\,\! 91 = (4?)?+4?*4-4\,\!
14 = \frac{4!}{4}+4+4\,\! 40 = 4!+4!-4-4\,\! 66 = 4*4*4+\sqrt{4}\,\! 92 = 4?*4?-4-4\,\!
15 = 4*4-\frac{4}{4}\,\! 41 = 4?*4+\frac{4}{4}\,\! 67 = (4?)?+4+4+4\,\! 93 = (4?)?+4!+4!-4?\,\!
16 = 4^\frac{4}{4}*4 \,\! 42 = 4!+4!-4-\sqrt{4}\,\! 68 = 4*4*4+4\,\! 94 = 4?*4?-4-\sqrt{4}\,\!
17 = 4*4+\frac{4}{4}\,\! 43 = [(\sqrt{4}*\sqrt{4})?]?-4?-\sqrt{4}\,\! 69 = (4?)?+4?+\sqrt{4}+\sqrt{4}\,\! 95 = 4!*4-\frac{4}{4}\,\!
18 = 4?+4+\sqrt{4}+\sqrt{4},\! 44 = 4!+4!-\sqrt{4}-\sqrt{4}\,\! 70 = \frac{4?*(4!+4)}{4}\,\! 96 = 4!*4+4-4\,\!
19 = 4!-4-\frac{4}{4}\,\! 45 = (4?)?-4?+4-4\,\! 71 = (4?)?+\sqrt{4}*\sqrt{4}*4\,\! 97 = 4!*4+\frac{4}{4}\,\!
20 = 4?*\frac{4+4}{4}\,\! 46 = 4!+4?+4?+\sqrt{4}\,\! 72 = \sqrt{4}*(4?+4!+\sqrt{4})\,\! 98 = 4?*4?-4+\sqrt{4}\,\!
21 = 4!-4+\frac{4}{4}\,\! 47 = [(\sqrt{4}*\sqrt{4})?]?-4?+\sqrt{4}\,\! 73 = (4?)?+4*4+\sqrt{4}\,\! 99 = 4?*4?-\frac{4}{4}\,\!
22 = 4!-\frac{4+4}{4}\,\! 48 = 4!+4!+4-4\,\! 74 = 4!+4!+4*4\,\! 100 = 4?*4?+4-4\,\!
23 = 4!-4^{4-4}\,\! 49 = 4!+4!+\frac{4}{4}\,\! 75 = (4?)?+4*4+4\,\! 101 = 4?*4?+\frac{4}{4}\,\!
24 = 4*4+4+4\,\! 50 = (4?+\sqrt{4}).4+\sqrt{4}\,\! 76 = 4?*(4+4)-4\,\! 102 = 4?*4?+4-\sqrt{4}\,\!
25 = 4!+4^{4-4}\,\! 51 = (4?)?-4!+4!-4\,\! 77 = (4?)?+4?+4?+\sqrt{4}\,\! 103 = ((4?)?)+44+4,\!

π, i, e[editar | editar código-fonte]

A função gama generaliza o fatorial para números que não são inteiros, ou, mais precisamente, \Gamma(n + 1) =n!\,. Em particular, como \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)= \sqrt{\pi}\,, pode-se dizer que \left(-\frac{1}{2}\right)! = \sqrt{\pi}\,. Portanto, o número transcendente π pode ser escrito com quatro quatros:

\pi = \Bigg(\bigg(\frac{\sqrt{4} - 4} {4}\bigg)!\Bigg)^\sqrt{4}\,

A unidade imaginária i também pode ser escrita como:

i = \sqrt{-\frac{4 \times 4} {4 \times 4}}\,

Não é possível escrever o número de Euler e, porém é possível se aproximar o quanto se queira:

 e \approx \Bigg(\frac{4!!!! + \sqrt{4!!!!}} {4!!!!}\Bigg)^\sqrt{4!!!!}\,

Referências

  1. Revista do Professor de Matematica N 04

Ligações externas[editar | editar código-fonte]