Quinto problema de Hilbert

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O quinto problema de Hilbert é um problema matemático da lista de problemas proposta em 1900 pelo matemático David Hilbert.[1] Trata da caracterização de grupos de Lie. A teoria dos grupos de Lie descreve a simetria continua na matemática; sua importância na matemática e também na física teórica (por exemplo, na teoria dos quark) cresceu constantemente durante o século XX. Em alto nível, a teoria do grupo de Lie é o campo em comum entre a teoria do grupo e a teoria das variedades topológicas. A questão estabelecida por Hilbert foi a seguinte: existe alguma diferença se uma restrição a variedades diferenciáveis é imposta? A resposta esperada seria na negativa (os grupos clássicos, os principais exemplos na teoria dos grupos de Lie, são variedades diferenciáveis). Isto foi eventualmente confirmado em meados da década de 50. Como a noção de “variedade” não estava disponível para Hilbert, há espaço para debate sobre a formulação do problema na linguagem matemática atual.

Formulação clássica[editar | editar código-fonte]

Uma formulação aceita por um longo período de tempo foi a de caracterizar grupos de Lie como grupos topológicos que também são variedades topológicas. Em termos mais próximos aos que Hilbert usou, próximo ao elemento identidade e do grupo G em questão, existe um conjunto aberto U no espaço Euclidiano contendo e, e em algum subconjunto V de U existe um mapeamento contínuo. F : V x V -> U Que satisfaz os axiomas do grupos onde esses são definidos. Isto é um fragmento de um típico grupo topológico Euclidiano. O problema é então mostrar que F é uma função suave próxima a e (desde que os grupos topológicos são espaços homogêneos, eles parecem o mesmo em qualquer localidade do que parecem próximos ao e).

Solução[editar | editar código-fonte]

O primeiro resultado para isso foi o de John von Neumann em 1933, para grupos compactos. O caso do grupo local abeliano compacto foi resolvido em 1934 por Lev Pontryagin. A resolução final, pelo menos na interpretação do significado de Hilbert, veio com o trabalho de Andrew Gleason, Deane Montgomery and Leo Zippin na década de 50. Em 1953, Hidehiko Yamabe obteve a resposta final para o quinto problema de Hilbert: um grupo conexo compacto local G é um limite projetivo de uma sequência de grupos de Lie, e se G não contem pequenos subgrupos (uma condição que vai ser definida abaixo), então G é um grupo de Lie. No entanto, a questão é ainda debatida, pois existem outras resoluções fortemente baseadas em interpretações diferentes do problema de Hilbert. Generalizando, todo grupo localmente compacto, e quase conectado é o limite projetivo de um grupo de Lie. Se considerarmos um grupo localmente compacto G e um componente conectado da identidade G0, teremos uma extensão G0 -> G -> G/G0 Como um grupo totalmente desconexo G/G0 possui um subgrupo compacto aberto, e G’ um subgrupo compacto é um subgrupo aberto e quase conexo de G.

Formulação alternativa[editar | editar código-fonte]

Outro modo de ver G deve ser tratado como um grupo de transformação, ao invés de abstratamente. Isto leva a formulação da conjectura de Hilbert-Smith, não resolvida desde 2009.

Sem pequenos subgrupos[editar | editar código-fonte]

Uma condição importante na teoria é que não existem pequenos subgrupos. Um grupo topológico G, ou uma parte de um grupo como F acima, não deve possuir pequenos subgrupos se existe um vizinho N de e contendo um subgrupo maior que {e}. Por exemplo, o grupo circular² satisfaz a condição, enquanto os inteiros p-adic Zp como grupo aditivo, não, pois N vai conter os subgrupos

Para todos os grandes inteiros k. Isto dá uma ideia da dificuldade relacionada ao problema. Gleason, Montgomery e Zippin caracterizaram grupos Lie entre grupos localmente compactos, como aqueles sem pequenos subgrupos.

Dimensões infinitas[editar | editar código-fonte]

Pesquisadores também consideraram o quinto problema de Hilbert sem supor a dimensionalidade finita. O último capítulo de Benyamini e Lindnstrauss discute a tese de Per Enflo, no escopo do quinto problema de Hilbert sem compactação.

Referências

  1. David Hilbert, Mathematical Problems., Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437-479. Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253-297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3dser., vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213-237.

Ver também[editar | editar código-fonte]