R²

O coeficiente de determinação, também chamado de R², é uma medida de ajustamento de um modelo estatístico linear generalizado, como a Regressão linear, em relação aos valores observados. O R² varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto o modelo consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R², mais explicativo é modelo, melhor ele se ajusta à amostra.

Por exemplo, se o R² de um modelo é 0,8234, isto significa que 82,34% da variável dependente consegue ser explicada pelos regressores presentes no modelo.

Método

$SQ_\text{tot}=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2\,$

, onde $n$ é o numero de observações;

Partindo de $y_i$ é o valor observado e $\bar{y}$ é a média das observações, esta equação dá-nos a Soma Total dos Quadrados, ou seja, a soma dos quadrados das diferenças entre a média e cada valor observado.

$SQ_\text{exp}=\sum_{i=1}^n (\hat{y_i} -\bar{y})^2\,$

, onde $\hat{y_i}$ é o valor estimado (previsão) de $y_i$

Esta equação, a Soma dos Quadrados Explicada, indica-nos a diferença entre a média das observações e o valor estimado para cada observação, e soma os respectivos quadrados. Quanto menor for a diferença, maior poder explicativo detém o modelo.

$SQ_\text{res}=\sum_{i=1}^n (\hat{y_i} - y_i)^2\,$

Esta equação é a Soma dos Quadrados dos Resíduos, que calcula a parte que não é explicada pelo modelo.

Sabemos que:

$SQ_\text{tot}=SQ_\text{exp}+SQ_\text{res}\,$,

E normalizando a equação de cima, temos que:

$R^2=\frac{SQ_\text{exp}}{SQ_\text{tot}}=1-\frac{SQ_\text{res}}{SQ_\text{tot}}$

R² ajustado

A inclusão de inúmeras variáveis, mesmo que tenham muito pouco poder explicativo sobre a variável dependente, aumentarão o valor de R². Isto incentiva a inclusão indiscriminada de variáveis, prejudicando o princípio da parcimónia. Para combater esta tendência, podemos usar uma medida alternativa do coeficiente de determinação, que penaliza a inclusão de regressores pouco explicativos. Trata-se do R² ajustado:

$\bar{R^2}=1-\frac{n-1}{n-(k+1)}\left(1-R^2\right)\,\!$

, onde $(k+1)\,\!$ representa o número de variáveis explicativas mais a constante.

Note que a inclusão de mais variáveis com pouco poder explicativo prejudica o valor do R² ajustado, porque aumenta $k$ uma unidade, sem aumentar substancialmente o $R^2$.