Razão anarmônica

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Em geometria projetiva, distâncias e ângulos não são preservados. O conceito métrico que é preservado pelas transformações projetivas é a razão anarmônica.

A razão anarmônica de quatro pontos colineares é definida por:

(P_1; P_2; P_3; P_4) = \frac{P_1 P_3 \times P_2 P_4}{P_1 P_4 \times P_2 P_3}\,

em que os segmentos de reta devem ser interpretados como segmentos orientados.

Os quatro pontos estão na razão harmônica quando a razão anarmônica entre eles vale -1.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Bisekt001.png

  • Sejam os pontos BCDE, em que BC é um lado de um triângulo ABC, e os pontos D e E são tais que AD é a bissetriz interna do ângulo  e AE é a bissetriz externa. A razão anarmônica BCDE vale:
(B;C;D;E) = \frac{BD CE}{BE CD}\,

Orientando a reta BC no sentido de B para C, temos que BD e CD tem sinais opostos, enquanto que BE e CE tem o mesmo sinal:

(B;C;D;E) = -\frac{|BD| |CE|}{|BE| |CD|}\,

Usando as propridades das bissetrizes, ou seja, \frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AC|}\, (e uma análoga com E no lugar de D):

(B;C;D;E) = -\frac{|AC| |AB|}{|AB| |AC|} = -1\,

Propriedade[editar | editar código-fonte]

Birapport et projection.png

  • A razão anarmônica é preservada por transformações projetivas. No caso, as razões anarmônicas são iguais: (A; B; C; D) = (A'; B'; C'; D')
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