Rearranjo simétrico decrescente

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Em matemática, o rearranjo simétrico decrescente de uma função real definida em Rn é uma função radialmente simétrica e decrescente, cujos superconjuntos de nível têm a mesma medida dos respectivos superconjuntos de nível da função original.


Definições para conjuntos[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto mensurável A, o rearranjo simétrico de A, denotado A*, é a bola centrada na origem cuja medida é igual à medida de A: [1] [2]

 A^* = \{x :  |x| < r \},

onde o r é dado por

 \omega_n r^n=\mu(A)

aqui \omega_n é a medida da bola unitária.

Definição para funções[editar | editar código-fonte]

O rearranjo simétrico decrescente de um a função não-negativa, mensurável f é definido como [1] [2]

 f^*(x) = \int_0^{\infty} \mathbb{I}_{\{y: f(y)>t\}^*}(x) dt.

Esta definição é motivada pela seguinte identidade, conhecida como representação bolo de camadas:

 f(x) = \int_0^\infty \mathbb{I}_{\{y: f(y)>t\}}(x) dt,

vávlida para funções não-negativas.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função f^* é radialmente simétrica e decrescente e seus superconjuntos de nível possuem a mesma medida dos superconjuntos de nível de f: [1] [2]

 |\{ x: f^*(x)>t\}| = |\{x: f(x)>t\}|.

Se f é uma função em  L^p, então

 \|f\|_{L^p} = \|f^*\|_{L^p}.

A desigualdade de Hardy-Littlewood estabelece que [1] [2]

 \int fg \leq \int f^* g^* .

A desigualdade de Szego estabelece que se 1 \leq p < \infty e se  f\in W^{1,p} , então [2]

 \|\nabla f^*\|_p \leq \|\nabla f\|_p.

O rearranjo simétrico decrescente preserva ordem: [2]

 f \leq g \Rightarrow  f^* \leq g^*

e reduz a distância em  L^p: [2]

 \|f - g\|_{L^p} \geq \|f^* - g^*\|_{L^p}.


Referências

  1. a b c d Lieb, Elliott H., & Loss, Michael. Analysis. Second ed. Providence, RI: American Mathematical Society, 2001. ISBN 0-8218-2783-9
  2. a b c d e f g Burchard, Almut. A Short Course on Rearrangement Inequalities. [S.l.: s.n.].