Regra da cadeia

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

Definição

A regra da cadeia afirma que

$(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,$

que em sua forma sucinta é escrita como: $(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\,\!$

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

$\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}$

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.

Exemplos

• Exemplo 1: Considere $f(x) = (x^2 + 1)^3$. Temos que $f(x)=h(g(x))$ onde $g(x) = x^2 + 1$ e $h(x) = x^3.$ Então,

$f '(x) \,$	$= 3(x^2 + 1)^2(2x) \,$
	$= 6x(x^2 + 1)^2. \,$

• Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:

$f(x) = \sin(x^2),\,$

pode ser escrita como $f(x) = h(g(x))$ com $h(x) = \sin x$ e $g(x) = x^2$. A regra da cadeia afirma que

$f'(x) = 2x \cos(x^2) \,$

desde que $h'(g(x)) = \cos (x^2)$ e $g'(x) = 2x$.

Regra da cadeia para várias variáveis

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função $z = f(x,y)$ onde $x = g(t)$ e $y = h(t)$, então

${\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}$

Suponha que cada função de $z = f(u,v)$ é uma função de duas variáveis tais que $u = h(x,y)$ e $v = g(x,y)$, e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$

${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}$

Se considerarmos $\vec r = (u,v)$ acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de $f$ e a derivada de $\scriptstyle \vec r$:

$\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}$

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções:

$\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}$