Regra da cadeia

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Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

A regra da cadeia afirma que

 (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,

que em sua forma sucinta é escrita como:  (f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\,\!

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Exemplo 1: Considere f(x) = (x^2 + 1)^3. Temos que f(x)=h(g(x)) onde g(x) = x^2 + 1 e h(g(x)) = (g(x))^3. Então,
f '(x) \, = 3(x^2 + 1)^2(2x) \,
= 6x(x^2 + 1)^2. \,
  • Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:
f(x) = \sin(x^2),\,

pode ser escrita como f(x) = h(g(x)) com h(x) = \sin x e g(x) = x^2. A regra da cadeia afirma que

f'(x) = 2x \cos(x^2) \,

desde que h'(g(x)) = \cos (x^2) e g'(x) = 2x.

Regra da cadeia para várias variáveis[editar | editar código-fonte]

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função z = f(x,y) onde x = g(t) e y = h(t), então

{\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}

Suponha que cada função de z = f(u,v) é uma função de duas variáveis tais que u = h(x,y) e v = g(x,y), e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

{\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}
{\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}

Se considerarmos \vec r = (u,v) acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de  f e a derivada de \scriptstyle \vec r:

\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções:

\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}
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