Regra de l'Hôpital

Topicos em Cálculo

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A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1696. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\,\!\infty}{\,\!\infty}$.

Enunciado

Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo ou união de intervalos I, com $g'(x) \neq 0,\; \forall x \in I$.

Se $\lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = 0$    ou    $\lim_{x \to p}f(x) = \lim_{x \to p}g(x) = \infty$

Então, se $\lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lambda$,

com $\lambda \in \mathbb{R}$ ou $\lambda = +\infty$ ou $\lambda = -\infty$, então:

$\lim_{x \to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Com p = c, p = c ⁺ , p = c ⁻ , $p=+\infty$ ou $p=-\infty$.

De notar que esta é uma relação de sentido único (não é uma equivalência) e que λ tem de existir (i.e: se o limite do quociente das derivadas não existir, nada se pode concluir).

Aplicações

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{2x}{1} = \lim_{x \to 1}2x = 2$

$\lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{x} = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{e^x}{1} = \lim_{x \to \,\!\infty}e^x = \,\!\infty$

A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como

$y = \lim_{x \to \,\!\infty}x^{\frac{1}{x}}$

$ln(y) = ln\left(\lim_{x \to \,\!\infty}x^{\frac{1}{x}}\right)$

$ln(y) = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{ln(x)}{x}$

aplicando a regra de L'Hôpital:

$ln(y) = \lim_{x \to \,\!\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0$

$y = e^0\,\!$

$y = 1\,\!$

Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:

$k = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

$ln(k) = ln\left(\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} n \cdot ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$

derivando...

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{-1}{n^2}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{-1}{n^2}\right)}$

$ln(k) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} = 1$

$k = e\,\!$

Exemplo

Alguns exemplos podem ser fornecidos

$\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\frac{0}{0}$

Aplicando a regra de l'Hôpital

$\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(tg(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{sec^2(x)}{1}=1$

Exemplo 2

A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x}=\frac{0}{0}$

Aplicando a regra

$\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(sen(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{cos(x)}{1}=1$

Demonstração

A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando tanto de diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas contínuas (por exemplo, polinómios, seno e cosseno, função exponencial), é um caso especial que merece atenção.

Suponha que f e g são continuamente diferenciáveis num número real c, em que $f(c)=g(c)=0\,$, e que $g'(c)\neq 0$. Então

$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} = \lim_{x\to c}\frac{\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)} =\frac{\lim_{x\to c}\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\lim_{x\to c}\left(\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}= \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Ligações externas

• Fórum de matemática para dúvidas sobre a Regra de L'Hôpital