Relação de Stifel

A Relação de Stifel também conhecida como regra de Pascal é representada pela seguinte igualdade:

Sejam $\scriptstyle n, k \in \mathbb{N}^*$, $\scriptstyle n > k$

$\scriptstyle {n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}={n\choose k}$

Demonstração

$\begin{matrix} {n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}= \\ \\ =\frac{k(n-1)!}{k!(n-k)!}+\frac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}=\frac{(k+n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)!}{k!(n-k)!}={n\choose k} \end{matrix} \,\!$

Generalização

Sejam $\scriptstyle n, k_1, k_2, k_3,\dots, k_p, p \in \mathbb{N}^* \,\!$ e $\scriptstyle n=k_1+k_2+k_3+\dots +k_p \,\!$. Então:

$\begin{matrix} {n-1\choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1\choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p}+\dots+{n-1\choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} = \\ \\ = \frac{(n-1)!}{(k_1-1)!k_2!k_3! \dots k_p!} + \frac{(n-1)!}{k_1!(k_2-1)!k_3!\dots k_p!} + \dots + \frac{(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\dots (k_p-1)!} = \\ \\ = \frac{k_1(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \dots k_p!} + \frac{k_2(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!... k_p!} + \dots + \frac{k_p(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\dots k_p!} = \frac{(k_1+k_2+...+k_p) (n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\dots k_p!} = \\ \\ = \frac{n(n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\dots k_p!} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!\dots k_p!} = {n\choose k_1, k_2, k_3,\dots, k_p} \end{matrix} \,\!$

Ver também

• Triângulo de Pascal
• Binómio de Newton

Referências

• Este artigo incorpora material de Pascal's rule do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.
• Este artigo incorpora material de Pascal's rule proof do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.
• MERRIS, Russell. Combinatorics. John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1