Relação de equivalência

Uma relação de equivalência é uma relação binária entre elementos de um dado conjunto, que satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

De forma mais rigorosa, uma relação de equivalência num conjunto X é uma relação binária que é reflexiva, simétrica e transitiva:

$\forall a \in X,\ a R a$ (reflexividade)

$\forall a, b \in X,\ a R b \Rightarrow \; b R a$ (simetria)

$\forall a, b, c \in X,\ a \,R\, b \and b \,R\, c \; \Rightarrow a \,R\, c$ (transitividade)

Uma relação de equivalência permite particionar o conjunto em classes de equivalência; esta construção é muito importante para gerar vários conjuntos quocientes, como grupos quocientes ou topologias quocientes. A idéia é partir de um conjunto, em princípio mais complicado, X e tentar criar um outro conjunto Y, mais simples, que vê elementos distintos de X como iguais. Então, estudando-se o conjunto mais simples Y pode-se tirar conclusões sobre X.

Descobrir relações de equivalência é fundamental para os matemáticos entenderem certas classes de objetos. Como exemplos, temos a congruência dos inteiros ("descoberta" por Gauss), que é ferramenta básica para entendermos certos teoremas em Teoria dos Números, e a congruência de triângulos (conhecida desde Euclides), importante pilar da geometria.

Exemplos

• O produto cartesiano de um conjunto A com ele mesmo, $A \times A\,$ é uma relação de equivalência.
• A relação em A definida por $x R x \iff x = x\,$ (a diagonal do produto cartesiano, ou o gráfico da função identidade) é uma relação de equivalência.
• A interseção de uma quantidade não-vazia de relações de equivalência é uma relação de equivalência. Isso permite definir a menor relação de equivalência satisfazendo determinadas propriedades. Por exemplo, seja R uma relação qualquer em um conjunto A. O conjunto X das relações de equivalência E que contém R não é vazio (porque $A \times A \in X\,$). Então, a interseção dos elementos de X é uma relação de equivalência que contém R, denominada a relação de equivalência gerada por R.
• Nem sempre a união de relações de equivalência é uma relação de equivalência.

Classes de equivalência

Ver artigo principal: Classe de equivalência

Seja ~ uma relação de equivalência em um conjunto A. Então, para um elemento a, define-se $\left[ a \right]\,$, a classe de equivalência de a, como o subconjunto de A dado por:

• $\left[ a \right] = \{ x \in A \ | \ x \sim a \}\,$

Note-se que, pela simetria de ~, tanto faz definir como x ~ a ou como a ~ x.