Representação de Dirac

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Mecânica quântica
{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
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Na mecânica quântica, a Representação de Dirac ou Representação de Interação é uma intermediação entre a Representação de Schrödinger e a Representação de Heisenberg. Considerando que nas outras duas representações ou o vetor do estado quântico ou o operador possuem dependência com o tempo, na Representação de Dirac ambas possuem parte da dependência do tempo dos observáveis.

Equações que incluem operadores agindo em tempos distintos, que são comportadas na Representação de Dirac, não necessariamente serão comportados nas representações de Schrödinger e Heisenberg. Isto é porque transformações unitárias do tempo se relaciona com operadores de uma representação com o operador análogo da outra representação.

Definição[editar | editar código-fonte]

Operadores e vetores dos estados quânticos na Representação de Dirac são relacionados pela mudança de base para aqueles operadores e vetores na Representação de Schrödinger.[1]

Para alternar na Representação de Dirac, nós dividimos o hamiltoniano da Representação de Schrödinger em duas partes, H_S = H_{0,S} + H_{1, S}. Qualquer escolha das partes nos dará uma Representação de Dirac válida, mas para nos ser útil na simplificação do problema, as partes serão escolhidas de forma que H_{0,S} será facilmente resolvido e H_{1,S} conterá as partes mais difíceis de analisar deste sistema.

Se o hamiltoniano for dependente do tempo (por exemplo, se o sistema quântico interagir com um campo elétrico aplicado externo que varia com o tempo), normalmente nos será vantajoso incluir explicitamente os termos dependentes do tempo com H_{1,S}, deixando o H_{0,S} independente do tempo. Nós iremos assumir que este será o caso. (se existir um contexto em que isto faça sentido ter um H_{0,S} dependente do tempo, então deve-se trocar e^{\pm i H_{0,S} t/\hbar} pelo operador de evolução).

Vetor do estado quântico[editar | editar código-fonte]

O vetor do estado quântico na Representação de Dirac é definido como [2]

 | \psi_{I}(t) \rang = e^{i H_{0, S} t / \hbar} | \psi_{S}(t) \rang

Onde | \psi_{S}(t) \rang é o mesmo vetor da Representação de Schrödinger.

Operadores[editar | editar código-fonte]

Um operador na Representação de Dirac é definido como

A_{I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} A_{S}(t) e^{-i H_{0,S} t / \hbar}.

Perceba que A_S(t) não será dependente de t e pode ser reescrito como A_S.

Operador hamiltoniano[editar | editar código-fonte]

Para o operador H_0 a Representação de Dirac e Schrödinger são idênticas

H_{0,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{0,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar} = H_{0,S}

Isto pode ser comprovador usando o facto que os operadores comutáveis com funções diferenciáveis. Este operador em particular também pode ser escrito da forma H_0 sem ambiguidade.

Para a perturbação hamiltoniana H_{1,I}, teremos

H_{1,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{1,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar}

onde a perturbação hamiltoniana da Representação de Dirac se torna um hamiltoniano dependente do tempo (a não ser que [H_{1,s},H_{0,s}]=0).

É possível de se obter a Representação de Dirac para um hamiltoniano dependente do tempo H_{0,s}(t), mas os exponencias precisam ser substituídos pelo propagador unitário devido para H_{0,s}(t) ou mais explícito com uma integral exponencial ordenada pelo tempo.

Matriz densidade[editar | editar código-fonte]

A matriz densidade pode se demonstrada transformando a Representação de Dirac da mesma forma como qualquer outro operador. Em particular, deixe \rho_I e \rho_S ser a matriz de densidade na Representação de Dirac e na Representação de Schrödinger, respectivamente. Se existe possibilidade de p_n ser no estado físico |\psi_n\rang, então

\rho_I(t) = \sum_n p_n(t) |\psi_{n,I}(t)\rang \lang \psi_{n,I}(t)| = \sum_n p_n(t) e^{i H_{0, S} t / \hbar}|\psi_{n,S}(t)\rang \lang \psi_{n,S}(t)|e^{-i H_{0, S} t / \hbar}  = e^{i H_{0, S} t / \hbar} \rho_S(t) e^{-i H_{0, S} t / \hbar}

Equações da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Estados da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Transformando a Equação de Schrödinger numa Representação de Dirac teremos:

 i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang = H_{1, I}(t) | \psi_{I} (t) \rang.

Esta equação se refere à equação Schwinger-Tomonaga.

Operadores da evolução temporal[editar | editar código-fonte]

Se o operador A_{S} é independente do tempo então a evolução temporal correspondente para A_I(t) é dada por

 i\hbar\frac{d}{dt}A_I(t)=\left[A_I(t),H_0\right].\;

Na Representação de Dirac os operadores evoluem no tempo como os operadores da Representação de Heisenberg com o hamiltoniano H'=H_0.

Evolução temporal da matriz densidade[editar | editar código-fonte]

Transformando a equação de Schwinger-Tomonaga na linguagem da matriz densidade teremos

 i\hbar \frac{d}{dt} \rho_I(t) = \left[ H_{1,I}(t), \rho_I(t)\right].

Usos da Representação de Dirac[editar | editar código-fonte]

O propósito da Representação de Dirac é nos desviar de toda dependência do tempo devido o H0 dos operadores, deixando apenas H1, I afetando a dependência do tempo dos vetores do estado quântico.

A Representação de Dirac é conveniente quando considerado o efeito de uma pequena interação, H1, S, sendo somado ao hamiltoniano de um sistema solucionado, H0, S. Pela troca na Representação de Dirac, nós podemos usar a teoria perturbacional dependente do tempo para encontrar o efeito de H1, I.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Townsend, John S.. A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed.. Sausalito, CA: University Science Books, 2000. ISBN 1-891389-13-0.
  2. The Interaction Picture, lecture notes from New York University