Representação de Heisenberg

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Mecânica quântica
{\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
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Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Detalhes matemáticos[editar | editar código-fonte]

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, |\psi \rang , não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

\frac{d}{dt}A(t)={i \over \hbar}[H,A(t)]+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right),

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de Heisenberg[editar | editar código-fonte]

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto. O valor esperado de A para um dado estado |\psi(t)\rang é dado por:

 \lang A \rang _{t} = \lang \psi (t) | A | \psi(t) \rang

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

 | \psi (t) \rang = e^{-iHt / \hbar} | \psi (0) \rang

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por π) nós teremos

 \lang A \rang _{t} = \lang \psi (0) | e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rang,

e então nós definiremos

 A(t) := e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar}.

Agora obteremos

 {d \over dt} A(t) = {i \over \hbar} H e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar} + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right) + {i \over \hbar}e^{iHt / \hbar} A \cdot (-H) e^{-iHt / \hbar}

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

 = {i \over \hbar } e^{iHt / \hbar} \left( H A - A H  \right) e^{-iHt / \hbar}  + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right) = {i \over \hbar } \left( H A(t) - A(t) H \right)   + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)

(a última passagem é válida já que:  e^{-iHt/ \hbar} comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

 {d \over dt} A(t) = {i \over \hbar } [ H  , A(t) ]  + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)

(onde [XY] é o comutador dos dois operadores e definidos como [XY] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de iqualdade

 {e^B A e^{-B}} = A + [B,A] + \frac{1}{2!} [B,[B,A]] + \frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

 A(t)=A+\frac{it}{\hbar}[H,A]-\frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,A]]
- \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,A]]] + \dots.

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores esta relação também obedece a mecânica clássica.

Relacionamento do comutador[editar | editar código-fonte]

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores x(t_{1}), x(t_{2}), p(t_{1}) e p(t_{2}). A evolução no tempo destes operadores dependem do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}}{2}

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

{d \over dt} x(t) = {i \over \hbar } [ H  , x(t) ]=\frac {p}{m}
{d \over dt} p(t) = {i \over \hbar } [ H  , p(t) ]= -m \omega^{2} x

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

\dot{p}(0)=-m\omega^{2} x_0
\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}

nos leva a:

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{p_{0}}{\omega m}\sin(\omega t)
p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega\!x_{0}\sin(\omega t)

Agora, nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

[x(t_{1}), x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})
[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})
[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})

Perceba que para t_{1}=t_{2}, simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]