Representação de números com sinal

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Em computação, representações de número com sinal são modos de representar números com sinal, i.e. números positivos e negativos, em sistemas de números binários.

Em matemática, os números negativos em qualquer base são representados por prefixando-os com um sinal de −. No entanto, em um hardware computacional, os números são representados em binário apenas, sem símbolos extras, requerendo um método de codificação para números negativos. Quatro métodos existem para estender o sistema binário para representar números com sinal: sinal-e-magnitude, complemento para um, complemento de dois, e excesso-N.

Método sinal-e-magnitude[editar | editar código-fonte]

Sinal-e-magnitude de 8 bits
Binário com Sinal sem Sinal
00000000 +0 0
00000001 1 1
... ... ...
01111111 127 127
10000000 −0 128
10000001 −1 129
... ... ...
11111111 −127 255

A representação de sinal-e-magnitude ou sinal-magnitude é a mais familiar a nós que utilizamos o sistema numérico de base 10, usando um sinal positivo ou negativo à esquerda do número para indicar se este é positivo ou negativo.[1] Pode-se primeiramente abordar o problema de representar um sinal de número através da atribuição de um bit de sinal para representar o sinal: define-se esse bit (frequêntemente o bit mais significativo) para 0 para representar um número positivo, e define-se como um para representar um número negativo. Os bits restantes do número representam a magnitude (ou o valor absoluto). Assim, em um byte com 8 bits, são utilizados 7 bits para representar o valor e um bit para representar o sinal. Neste caso, o valor pode variar de 0000000 (0) a 1111111 (127). Assim, pode-se representar números de −12710 a +12710, uma vez que você adicione o bit de sinal (o oitavo bit). Uma conseqüência desta representação é que existem duas maneiras de representar o zero, 00000000 (0) e 10000000 (-0).[2]

Esta abordagem é directamente comparável com a maneira comum de se mostrar um sinal (colocando um "+" ou "-" junto à magnitude do número). Alguns dos primeiros computadores binários (por exemplo, o IBM 7090) usaram esta representação, talvez por causa de sua relação natural com o uso comum.[carece de fontes?] Sinal de magnitude é a forma mais comum de representar os significandos em valores de ponto flutuante.

Complemento para um[editar | editar código-fonte]

Complemento para um com 8 bits
Binário Interpretação de complemento para um Interpretação sem sinal
00000000 +0 0
00000001 1 1
... ... ...
01111101 125 125
01111110 126 126
01111111 127 127
10000000 −127 128
10000001 −126 129
10000010 −125 130
... ... ...
11111110 −1 254
11111111 −0 255

Como alternativa, um sistema conhecido como complemento para um ou complemento de um pode ser usado para representar números negativos. A forma de representar números negativos em "complemento para um" é aplicar a operação bitwise NOT para os números negativos (com -), o seja, o complemento da sua contraparte positiva. Como na representação sinal de magnitude, o "complemento para um" tem duas representações para o 0: 00000000 (+0) e 11111111 (-0). Na prática, este zero negativo, quando detectado é transformado em zero normal.[3] :p.17,18

Como exemplo, a forma em complemento para um de 00101011 (43) torna-se 11010100 (-43). O intervalo de números com sinal usando complemento para um é representado por: −(2N−1−1) para (2N−1−1) e +/-0. Um byte de oito bits convencional é −12710 para +12710 com zero sendo ou 00000000 (+0) ou 11111111 (-0).

Para adicionar dois números representados neste sistema, se faz uma adição binária convencional, mas é então necessário adicionar qualquer "vai-um" resultante de volta para a soma resultante. Para ver por que isso é necessário, considere o seguinte exemplo que mostra o caso da adição de −1 (11111110) a +2 (00000010).[2] :p.19

         binário    decimal
        11111110     -1
     +  00000010     +2
    ............    ...
      1 00000000      0   <-- não é a resposta correta
               1     +1   <-- adiciono "vai-um"
    ............    ...
        00000001      1   <-- resposta correta

No exemplo anterior, a adição binária somente dá 00000000, o que é um resultado incorreto. Somente quando o "vai-um" é adicionado de volta o resultado correto (00000001) aparece.

Este sistema de representação numérica era comum em computadores mais antigos; o PDP-1, CDC 160A e a série UNIVAC 1100/2200, entre muitos outros, utilizavam aritimética de "complemento para um".[carece de fontes?]

Uma observação sobre ortografia: O sistema é conhecido como "complemento para um", porque a negação de um valor positivo x(representado como a operação bitwise NOT de x) pode também ser formado pela subtração de x da representação em "complemento para um" do número zero que é uma longa seqüência de uns (-0). A aritmética de "Complemento de dois", por outro lado, constitui a negação de x subtraindo x a partir de uma única grande potência de dois que é congruente a 0. [4] Por isso, a representação de "complemento para um" e a representação de "complemento para dois" irão diferir de um.

Os protocolos Internet IPv4, ICMP, UDP e TCP usam todos o mesmo algoritmo checksum de 16 bits de complemento para um. Embora a maioria dos computadores careça de um hardware para método de complementos, a complexidade extra é aceita porque "é igualmente sensível a erros em todas as posições dos bits".[5] No UDP, a representação de zero com todos os bits setados para 0s indica que o recurso de verificação opcional foi omitido. A outra representação, FFFF, indica um valor de checksum 0.[6] (Checksums são obrigatórios em IPv4, ICMP e TCP; eles foram omitidos do IPv6).

Note que a representação de complemento para um de um número negativo pode ser obtida de uma representação sinal-e-magnitude simplesmente fazendo-se uma operação de complemento bitwise da magnitude.[necessário esclarecer]

Complemento para dois[editar | editar código-fonte]

Complemento para dois de 8 bits
Binário Interpretação de complemento para dois Interpretação sem sinal
00000000 0 0
00000001 1 1
... ... ...
01111110 126 126
01111111 127 127
10000000 −128 128
10000001 −127 129
10000010 −126 130
... ... ...
11111110 −2 254
11111111 −1 255

Os problemas de múltiplas representações de 0 e a necessidade de tratamento com "vai-um" são contornadas por um sistema chamado complemento para dois.[2] :p.21 Neste modelo, os números negativos são representados pelo padrão de bits que é maior em uma unidade (no sentido sem-sinal) que o "complemento para um" do valor positivo.

Em complemento para dois, há apenas um zero (00000000). Se nega um número (negativo ou positivo) invertendo-se todos os bits e, em seguida, adicionando 1 ao resultado. A adição de um par números em complemento para dois é o mesmo a adição de um par de números sem-sinal . Por exemplo, um complemento para dois da adição de 127 e -128 dá o mesmo padrão de bits binário de uma adição sem sinal de 127 com 128, como pode ser visto na tabela ao lado.[2] :p.21

Um método mais fácil de obter a negação de um número em complemento de dois é o que se segue:

Exemplo 1 Exemplo 2
1. A partir da direita, encontre o primeiro '1' 0101001 0101100
2. Inverte todos os bits à esquerda deste um 1010111 1010100

Excesso-N[editar | editar código-fonte]

Excesso-127 em 8 bits
Valor binário Interpretação de Excesso-127 Interpretação sem-sinal
00000000 -127 0
00000001 -126 1
... ... ...
01111111 0 127
10000000 1 128
... ... ...
11111111 +128 255

A representação de Excesso-N usa um número pré-especificado N como um valor de polarização. Um valor é representado pelo número sem sinal que é N unidades maior do que o valor pretendido. Assim, 0 é representado por N, e -N é representado pelo padrão de bits zeros (tudo zerado).

Esta é uma representação que é agora utilizada principalmente em números de ponto flutuante. O padrão IEEE de ponto flutuante, define o campo de expoente de um número de 32 bits de precisão simples como um campo de 8 bits na representação de Excesso-127. O expoente de um número de 64 bits de precisão dupla é um de campo de 11 bits com representação de Excesso-1023.

Base −2[editar | editar código-fonte]

Em sistemas convencionais de número binário, a base, ou raiz, é de 2; assim, o bit mais à direita representa 20, o próximo bit representa 21, o próximo bit 2², e assim por diante. No entanto, um sistema numérico binário com base -2 também é possível. O bit mais à direita representa (−2)0=+1, o próximo bit representa (−2)1=−2, o próximo bit (−2)²=+4, e assim por diante, com o sinal alternado. Os números que podem ser representados com quatro bits são mostrados na tabela de comparação abaixo.

O intervalo de números que pode ser representado é assimétrico. Se a palavra tem um número par de bits, a magnitude do maior número negativo que pode ser representado é duas vezes maior que o maior número positivo que pode ser representado, e vice-versa, se a palavra tem um número ímpar de bits.

Tabela de comparação[editar | editar código-fonte]

A tabela abaixo mostra os números inteiros positivos e negativos que podem ser representados utilizando 4 bits.

representações inteiras de 4 bits
Decimal Sem sinal Sinal-e-magnitude Complemento para um Complemento de dois Excesso-7 Base −2
+16
+15 1111
+14 1110
+13 1101
+12 1100
+11 1011
+10 1010
+9 1001
+8 1000 1111
+7 0111 0111 0111 0111 1110
+6 0110 0110 0110 0110 1101
+5 0101 0101 0101 0101 1100 0101
+4 0100 0100 0100 0100 1011 0100
+3 0011 0011 0011 0011 1010 0111
+2 0010 0010 0010 0010 1001 0110
+1 0001 0001 0001 0001 1000 0001
+0 0000 0000
0 0000 0000 0111 0000
−0 1000 1111
−1 1001 1110 1111 0110 0011
−2 1010 1101 1110 0101 0010
−3 1011 1100 1101 0100 1101
−4 1100 1011 1100 0011 1100
−5 1101 1010 1011 0010 1111
−6 1110 1001 1010 0001 1110
−7 1111 1000 1001 0000 1001
−8 1000 1000
−9 1011
−10 1010
−11

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. MURDOCCA, Miles J.; HEURING, Vincent P.. Introdução à Arquitetura de Computadores. Rio de Janeiro: Campus, Elsevier, 2001. 28-32 p. ISBN 85-352-0684-1
  2. a b c d Anido, Ricardo (25 de Fevereiro de 2011). [http://www.ic.unicamp.br/~ranido/mc404/faiska/cap1.pdf Introdução à Organização de Computadores e Linguagens de Montagem] (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Página visitada em 04 de março de 2012.
  3. BIANCHI, Paulo; BEZERRA, Milton. Microcomputadores: Arquitetura - Projeto - Programação. [S.l.]: LTC, 1983. 16 p. ISBN 85-216-0321-5
  4. Donald Knuth:The Art of Computer Programming, Volume 2: Algoritmos Seminumerical, capítulo 4.1
  5. Braden, R. (setembro 1988). Computing the Internet Checksum (RFC 1071) (em inglês). The Internet Engineering Task Force. Página visitada em 2009-06-11.
  6. Postel, J. (agosto 1980). User Datagram Protocol (RFC 768). The Internet Engineering Task Force. Página visitada em 2009-06-11.