Representação de uma álgebra

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Em matemática, uma representação de uma álgebra é um módulo sobre a álgebra ou, equivalentemente, um homomorfismo de álgebras entre a álgebra e o anel de endomorfismos de um espaço vetorial. [1]

Definições[editar | editar código-fonte]

Dado um homomorfismo de álgebras \rho:A\rightarrow \textrm{End}\,V, a notação abreviada para \rho(a)v é av para módulos à esquerda e va para módulos à direita. Então, pode-se escrever um tipo de lei associativa: (ab)v=a(bv) para módulos à esquerda, e (va)b=v(ab) para módulos à direita.

Uma subrepresentação de uma representação V de uma álgebra A é um subespaço W\subset V o qual é invariante sobre todos os operadores \rho(a):V\to V,a\in A.

Sejam V_1, V_2 duas representações sobre um álgebra A. Um homomorfismo (ou operador intertwining) \phi:V_1\to V_2 é um operador linear o qual comuta com a ação de A, isto é, \phi(av)=a\phi(v),\forall v\in V_1. Um homomorfismo \phi é dito ser um isomorfismo de representações se for um isomorfismo entre espaços vetoriais.

Proposições[editar | editar código-fonte]

Lema de Schur
Sejam V_1,V_2 representações irredutíveis de uma álgebra A sobre um corpo qualquer \mathbb{F}. Seja \phi:V_1\to V_2 um homomorfismo entre representações não identicamente nulo. Então \phi é um isomorfismo.
Lema de Schur para corpos algebricamente fechados
Seja V uma representação irredutível de dimensão finita de uma álgebra A sobre um corpo algebricamente fechado \mathbb{K}, e \phi:V\to V é um operador interwinning. Então \phi=\lambda\text{Id} (o operador escalar).

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p. 279-280.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Hazewinkel, M.; Gubareni, N.M. and Kirichenko, V.V.. Algebras, rings and modules. [S.l.]: Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 9781402026904.