Resultante

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Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos P e Q sobre um corpo k define-se como o produto:

\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} \prod_{Q(y)=0} (y-x),\,

das diferenças de suas raízes, de onde x e y tomam valores no fecho algébrico de k. Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes p e q, respectivamente, o produto acima é multiplicado por

p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,

Computação[editar | editar código-fonte]

\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{Q(y)=0} P(y)\,
e esta expressão permanece invariante sem P reduz-se o módulo Q.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • \mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)
  • \mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)
  • Se P' = P + R*Q e \deg P' = \deg P, entãon \mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P',Q)
  • Se X, Y, P, Q possui o mesmo grau e X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q,
então \mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)
  • \mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P) onde P_-(z) = P(-z)