Resultante

Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos $P$ e $Q$ sobre um corpo $k$ define-se como o produto:

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} \prod_{Q(y)=0} (y-x),\,$

das diferenças de suas raízes, de onde $x$ e $y$ tomam valores no fecho algébrico de $k$. Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes $p$ e $q$, respectivamente, o produto acima é multiplicado por

$p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,$

Computação

• A resultante é o determinante da matriz de Sylvester.

• O produtório anterior pode ser reescrito como

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{Q(y)=0} P(y)\,$

e esta expressão permanece invariante sem $P$ reduz-se o módulo $Q$.

Propriedades

• $\mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)$
• $\mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)$
• Se $P' = P + R*Q$ e $\deg P' = \deg P$, entãon $\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P',Q)$
• Se $X, Y, P, Q$ possui o mesmo grau e $X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q$,

então $\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)$

• $\mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P)$ onde $P_-(z) = P(-z)$