Rolete (curva)

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Animação de uma rolete de uma parábola sobre outra, resultando uma Cissoide de Diocles

Em geometria diferencial de curvas, uma rolete é um tipo de curva, generalizando cicloides, epicicloides, hipocicloides, trocoides e evolventes.

De forma geral, é a curva descrita por um ponto (denominado gerador ou polo) pertencente a uma curva dada que rola sem deslizar sobre uma outra curva dada e que permanece fixa. Mais precisamente, dada uma curva em um plano que se move tal que a curva rola sem deslizar ao longo de uma dada curva em um plano fixo ocupando o mesmo espaço, então um ponto pertencente ao plano móvel descreve uma curva no plano fixo denominada rolete.

Na animação ao lado, a curva fixa (em azul) é uma parábola, a curva móvel (em verde) é outra parábola igual à azul, e o gerador é o vértice da parábola rolante, que descreve a rolete (em vermelho). Neste caso a rolete é a Cissoide de Diocles.[1]

Quando a curva rolante é uma reta e o gerador é um ponto sobre a reta, a rolete é denominada evolvente da curva fixa. Se a curva rolante é um círculo e a curva fixa é uma reta, a rolete é uma trocoide. Se, neste caso, o ponto está sobre o círculo, então a rolete é uma cicloide.

Se, ao invés de um simples ponto fixo ser marcado na curva girante outra dada curva é carregada junto com o plano móvel, uma família de curvas congruentes é produzida. O envelope desta família também pode ser chamado de rolete.

Um conceito relacionado é uma glissete, a curva descrita por um ponto ligado a uma dada curva quando esta desliza sobre duas (ou mais) curvas dadas.

Formalmente falando, as curvas devem ser diferenciáveis no plano euclidiano. Uma permanece invariante, e a outra é submetida a uma transformação congruente contínua, tal que para todo tempo as curvas são tangentes em um ponto de contato que se move com a mesma velocidade ao longo de qualquer das curvas. A rolete resultante é formada pelo lugar geométrico do gerador sujeito ao mesmo conjunto de transformações congruentes.

Modelando as curvas originais no plano complexo, sejam r,f:\mathbb R\to\mathbb C parametrizações distintas tal que r(0)=f(0), r′(0)=f′(0), e |r′(t)|=|f′(t)|≠0 para todo t. A rolete de p\in\mathbb C quando r rola sobre f é então dada pelo mapeamento

t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t)\over r'(t)}.

Roletes em espaços de maiores dimensões podem ser imaginadas, mas são necessário mais parâmetros que apenas tangentes.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se a curva fixa é uma catenária e a curva rolante uma reta, temos:

f(t)=t+i(\cosh(t)-1) \qquad r(t)=\sinh(t)
f'(t)=1+i\sinh(t) \qquad r'(t)=\cosh(t).

A parametrização da linha é tal que

|f'(t)| \, =\sqrt{1^2+\sinh^2(t)} =\sqrt{\cosh^2(t)} =|r'(t)|. \,

Aplicando a fórmula acima obtemos

f(t)+(p-r(t)){f'(t)\over r'(t)}
=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t))\over\cosh(t)}
=t-i+(p+i){1+i\sinh(t)\over\cosh(t)}.

Se p = −i a expressão tem a parte imaginária constante (−i) e a rolete é uma linha horizontal. Uma aplicação interessante disto é que uma roda quadrada pode rolar sem saltar sobre uma estrada que é composta por uma série de arcos catenários, como mostra a animação a seguir.

A roda quadrada

Lista de roletes[editar | editar código-fonte]

Curva fixa Curva rolante Ponto gerador Rolete
Qualquer curva Reta Ponto da reta Evolvente de uma curva
Reta Circunferência Qualquer Trocoide
Reta Circunferência Ponto da circunferência Cicloide
Reta Cônica Centro da cônica Rolete de Sturm[2]
Reta Cônica Foco da cônica Rolete de Delaunay[3]
Reta Parábola Foco da parábola Catenária[4]
Reta Elipse Foco da elipse Catenária elíptica[4]
Reta Hipérbole Foco da hipérbole Catenária hiperbólica[4]
Reta Hipérbole Centro da hipérbole Elástica retangular
Reta Epicicloide ou Hipocicloide Centro Elipse[5]
Circunferência Circunferência Qualquer Trocoide centrada[6]
Parábola Parábola igual parametrizada em sentido oposto Vértice da parábola Cissoide de Diocles[1]
Catenária Reta Ver exemplo acima Line

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]