Rosa polar

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No experimento de Foucault, o pêndulo de Foucault descreve uma rosa polar.

Em matemática, a rosa polar é o nome dado a qualquer membro de uma família de curvas de equação r(\theta) = \cos (k\theta)\,, devido à semelhança com pétalas de flores.

Esta família, também conhecida como rhodoneas (do grego rhodon, "rosa"), foi estudada pelo matemático Luigi Guido Grandi, por volta de 1725, em seu livro Flores Geometrici.1

Nos casos particulares de três e quatro pétalas, a rosa polar é também chamada de trifolium regular e quadrifolium, respectivamente. Para k=1/2, obtém-se a curva chamda folium de Durero.

Equação[editar | editar código-fonte]

Rosas definidas por r=\sin k \theta, para valores racionais de k=n/d. A última fila corresponde a valores inteiros de k.

Sua expressão geral em coordenadas polares é:

r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,

Onde a representa o comprimento das pétalas e \phi_0 tem apenas o efeito de realizar uma rotação global sobre a figura. Com exceção da similaridade, as curvas podem ser reduzidas à família:

r(\theta) = \cos (k\theta)\,2

Aqui o formato da curva é determinado pelo valor do parâmetro k:

  • Se k é inteiro, estas equações produzem k pétalas para k ímpar ou 2k pétalas para k par.
  • Se k é racional, então a curva é fechada e de comprimento finito.
  • Se k é irracional, então teremos um conjunto denso de curvas no disco de raio a.

A expressão em coordenadas cartesianas da rosa de quatro pétalas é  (x^2+y^2)^3=4a^2x^2y^2 e para a rosa de três pétalas é (x^2+y^2)^2=ax(x^2-3y^2).

Área[editar | editar código-fonte]

Rosa polar de equação r(θ) = 2 sin  4θ. Surpreendentemente, sua área é igual à metade do círculo em que a curva está inscrita.

A área de uma rosa de equação r=a \cos (k\theta)\,, com k natural, é igual a:


    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

se k é par, e


    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

se k é ímpar.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Grandi, Guido. Flores geometrici ex Rhodonearum, et cloeliarum Curvarum descriptione resultantes. Florentiae, Typ. Regiae Celsitudinis, 1728.
  2. As expressões \,r=\sin(k\theta) e \,r = \cos(k\theta) representam a mesma curva, exceto por uma rotação de π/2k radianos.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]