Série de Liouville-Neumann

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Em matemática, uma série de Liouville-Neumann é uma série infinita que corresponde à técnica do formalismo resolvente para solução de equações integrais de Fredholm na teoria de Fredholm.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma série de Liouville-Neumann é definida por

\phi\left(x\right) = \sum^\infty_{n=0} \lambda^n \phi_n \left(x\right),

que é a única solução contínua de uma equação integral de Fredholm do segundo tipo

f(t)= \phi(t) - \lambda \int_a^bK(t,s)\phi(s)\,ds.

Se o núcleo iterado de ordem n é definido por

K_n\left(x,z\right) = \int\int\cdots\int K\left(x,y_1\right)K\left(y_1,y_2\right) \cdots K\left(y_{n-1}, z\right) dy_1 dy_2 \cdots dy_{n-1}

então

\phi_n\left(x\right) = \int K_n\left(x,z\right)f\left(z\right)dz.

O núcleo resolvente é dado por

K\left(x, z;\lambda\right) = \sum^\infty_{n=0} \lambda^n K_{n+1} \left(x, z\right)
.

A solução da equação integral é:

\phi\left(x\right) = \int K \left( x, z;\lambda\right) f\left(z\right)dz.

Métodos similares podem ser usados para resolver equações integrais de Volterra.

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