Série de Neumann

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Uma série de Neumann é uma série matemática da forma

 \sum_{n=0}^\infty T^n

onde T:X \rightarrow X é um operador linear contínuo sobre um espaço normado \left.X\right. e \left.T\right.^0 := \mathrm{I}, o operador identidade. Assim, \left.T^n\right. é uma notação matemática para \left.n\right. operações consecutivas do operador \left.T\right.. Isto generaliza a série geométrica.

A série é denominada em memória do matemático Carl Neumann, que a usou em 1877 no contexto da teoria do potencial. A série de Neumann é usada em análise funcional. Forma a base da série de Liouville-Neumann, usada para resolver equações integrais de Fredholm. Também é fundamental no estudo do espectro de operadores limitados.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Suponha que T é um operador limitado no espaço normado X. Se a série de Neumann converge na norma operacional, então I – T é inversível e sua inversa é a soma da série

 (\mathrm{I} - T)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty T^n .

Um caso no qual a convergência é garantida é quando X é um espaço de Banach e |T| < 1 no operador norma. Contudo, existem resultados para os quais encontra-se uma condição mais fraca em que a série converge.

O conjunto dos operadores inversíveis é aberto[editar | editar código-fonte]

Um corolário é que o conjunto de operadores inversíveis entre dois espaços de Banach B e B' é aberto na topologia induzida pelo operador norma. Realmente, seja S : BB' um operador inversível e seja T: BB' outro operador. Se |ST | < |S–1|–1, então T é também inversível. Isto obtém-se ao expressar T como

 T = S ( \mathrm{I} - (\mathrm{I} - S^{-1} T )),\

e aplicando o resultado da seção prévia sobre o segundo fator. A norma de T−1 pode ser limitada por

 |T^{-1}| \le \tfrac{1}{1-q} |S^{-1}| \quad\text{onde}\quad q = |S-T| \, |S^{-1}|.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Werner, Dirk. Análise Funcional (em alemão). 5 ed. Berlim: Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7

Ligações externas[editar | editar código-fonte]