Série dos inversos dos primos

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Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:

\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{p_i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots\,

O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:

Defina o conjunto E_k\, cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também S_k\, como a soma dos inversos dos elementos de E_k\,, assim:

S_0=1\,
S_1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\ldots\,
S_2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3^2}\ldots\,

É possível mostrar por indução que:

S_{k}=\left(1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\frac{1}{p_k^3}+\ldots\right)S_{k-1},~~ k\geq 2\,

Usando a série geométrica, temos:

S_{k}=\frac{1}{1-p_k^{-1}}S_{k-1},~~ k\geq 2\,

E, portanto:

S_{k}=\left(\frac{1}{1-p_k^{-1}}\right)\left(\frac{1}{1-p_{k-1}^{-1}}\right)\cdots \left(\frac{1}{1-p_1^{-1}}\right)=\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-p_i^{-1}}\,

tomando logaritmos, temos:

\ln S_{k}=-\sum_{i=1}^k\ln\left(1-p_i^{-1}\right)\,

Usamos a série de Taylor para o logarítmo:

-\ln(1-p_i^{-1})=\frac{1}{p_i}+\frac{1}{2p_i^2}+\frac{1}{3p_i^3}+\ldots \,

assim:

\begin{array}{lcl}
\ln S_{k}&=&\sum_{i=1}^k\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{np_i^n}\\
&=&\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i}+ \sum_{i=2}^k \frac{1}{p_i^2}\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{np_i^{n-2}}\\
&\leq&\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i}+ \sum_{i=2}^k \frac{1}{p_i^2}\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{p_i^{n-2}}\\
&=&\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i}+ \sum_{i=2}^k \frac{1}{p_i^2-p_i}\\
\end{array}

Observamos que:

\sum_{i=2}^k\frac{1}{p_i^2-p_i}\leq \sum_{i=2}^\infty\frac{1}{i^2-i}=\sum_{i=2}^\infty\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}\right)=1

e também que:

S_k\geq \sum_{i=1}^k \frac{1}{k}\geq \ln k

E finalmente:

\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i} \geq \ln\left(\ln k -1\right)

E o resultado segue dado que \ln\ln k \to \infty\, quando k\to\infty\,

Outra demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.

Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural k\, tal que:

\sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_i}<\frac{1}{2}\,

Defina o conjunto S(x)\, formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos 2,3,5,\ldots, p_{k}\,:

S(x)=\left\{n\in\mathbb{N}:n \leq x \land p_i\nmid n,~~\forall i>k\right\}

E defina a função N(x)\, como o número de elementos em S(x)\,.

A prova consiste em estabeler valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.

Proposição 1: N(x)\leq 2^k\sqrt{x}\,

Todo número inteiro pode ser escrito na forma p=qm^2\,, onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos p\in S(x)\, só podem ter, como fatores primos, os primos p_1, p_2, \ldots p_k\,, portanto o número q é da seguinte forma:

q={p_1}^{e_1} {p_2}^{e_2} \ldots {p_k}^{e_k}\,

onde os expoentes e_i\, valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo, 2^k\, possibilidades para o valor do número q. Como m2 ≤ x, temos que existem no máximo \sqrt{x}\, possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).

Proposição 2: N(x) > \frac{x}{2}\,

O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo pi, com i > k.

Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo p_i\, é inferior a \frac{x}{p_i}\,.

Portanto, temos a a estimativa:

x-N(x)\leq \sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{x}{p_i}=x\sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_i}<\frac{x}{2}\,

ou, simplificando:

N(x) > \frac{x}{2}\,

E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.

Teorema de Brun[editar | editar código-fonte]

Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)
+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots \approx 1,9021605823.

Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.