Série dos inversos dos primos

Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:

$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{p_i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots\,$

O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.

Demonstração

Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:

Defina o conjunto $E_k\,$ cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também $S_k\,$ como a soma dos inversos dos elementos de $E_k\,$, assim:

$S_0=1\,$

$S_1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\ldots\,$

$S_2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3^2}\ldots\,$

É possível mostrar por indução que:

$S_{k}=\left(1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\frac{1}{p_k^3}+\ldots\right)S_{k-1},~~ k\geq 2\,$

Usando a série geométrica, temos:

$S_{k}=\frac{1}{1-p_k^{-1}}S_{k-1},~~ k\geq 2\,$

E, portanto:

$S_{k}=\left(\frac{1}{1-p_k^{-1}}\right)\left(\frac{1}{1-p_{k-1}^{-1}}\right)\cdots \left(\frac{1}{1-p_1^{-1}}\right)=\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-p_i^{-1}}\,$

tomando logaritmos, temos:

$\ln S_{k}=-\sum_{i=1}^k\ln\left(1-p_i^{-1}\right)\,$

Usamos a série de Taylor para o logarítmo:

$-\ln(1-p_i^{-1})=\frac{1}{p_i}+\frac{1}{2p_i^2}+\frac{1}{3p_i^3}+\ldots \,$

assim:

$\begin{array}{lcl} \ln S_{k}&=&\sum_{i=1}^k\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{np_i^n}\\ &=&\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i}+ \sum_{i=2}^k \frac{1}{p_i^2}\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{np_i^{n-2}}\\ &\leq&\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i}+ \sum_{i=2}^k \frac{1}{p_i^2}\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{p_i^{n-2}}\\ &=&\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i}+ \sum_{i=2}^k \frac{1}{p_i^2-p_i}\\ \end{array}$

Observamos que:

$\sum_{i=2}^k\frac{1}{p_i^2-p_i}\leq \sum_{i=2}^\infty\frac{1}{i^2-i}=\sum_{i=2}^\infty\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}\right)=1$

e também que:

$S_k\geq \sum_{i=1}^k \frac{1}{k}\geq \ln k$

E finalmente:

$\sum_{i=1}^k\frac{1}{p_i} \geq \ln\left(\ln k -1\right)$

E o resultado segue dado que $\ln\ln k \to \infty\,$ quando $k\to\infty\,$

Outra demonstração

Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.

Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural $k\,$ tal que:

$\sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_i}<\frac{1}{2}\,$

Defina o conjunto $S(x)\,$ formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos $2,3,5,\ldots, p_{k}\,$:

$S(x)=\left\{n\in\mathbb{N}:n \leq x \land p_i\nmid n,~~\forall i>k\right\}$

E defina a função $N(x)\,$ como o número de elementos em $S(x)\,$.

A prova consiste em estabeler valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.

Proposição 1: $N(x)\leq 2^k\sqrt{x}\,$

Todo número inteiro pode ser escrito na forma $p=qm^2\,$, onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos $p\in S(x)\,$ só podem ter, como fatores primos, os primos $p_1, p_2, \ldots p_k\,$, portanto o número q é da seguinte forma:

$q={p_1}^{e_1} {p_2}^{e_2} \ldots {p_k}^{e_k}\,$

onde os expoentes $e_i\,$ valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo, $2^k\,$ possibilidades para o valor do número q. Como m² ≤ x, temos que existem no máximo $\sqrt{x}\,$ possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).

Proposição 2: $N(x) > \frac{x}{2}\,$

O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo p_i, com i > k.

Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo $p_i\,$ é inferior a $\frac{x}{p_i}\,$.

Portanto, temos a a estimativa:

$x-N(x)\leq \sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{x}{p_i}=x\sum_{i=k+1}^{\infty}\frac{1}{p_i}<\frac{x}{2}\,$

ou, simplificando:

$N(x) > \frac{x}{2}\,$

E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.

Teorema de Brun

Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots \approx 1,9021605823.$

Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.