Sétimo problema de Hilbert

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O sétimo problema de Hilbert é um dos Problemas de Hilbert, propostos por David Hilbert em 1900. Este problema trata da natureza irracional e transcendental de alguns números (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Duas questões específicas são feitas:

  1. Em um triângulo isósceles, se a razão entre o ângulo da base e o ângulo do vértice é um número algébrico irracional, então a razão entre a base o lado será transcendente?
  2. a^b é sempre transcendente, quando a \not\in \{0,1\} for algébrico e b for algébrico irracional?

A segunda pergunta foi respondida afirmativamente por Alexander Gelfond em 1934, e refinada por Theodor Schneider em 1935. Este resultado é conhecido como o teorema de Gelfond ou o teorema de Gelfond-Schneider.

Note-se que b não pode ser racional ou transcendente: se b for racional, então a^b será algébrico; do mesmo modo, existem valores transcendentes de b (por exemplo, b = \log_a 10\,) para os quais a^b será algébrico (nesse exemplo, a^b = 10)

Uma das generalizações é:

b \ln{\alpha} + \ln{\beta} = 0

da forma linear generalizada dos logaritmos que foi tratada por Alan Baker.

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