Salinon

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A salinon (vermelho) e o círculo (azul) tem a mesma área. Em roxo a área comum às duas figuras

Salinon (significando "saleiro" em grego) é uma figura geométrica que consiste em quatro semicírculos. Foi introduzida a primeira vez no livro dos lemas, uma obra atribuída a Arquimedes.[1]

Construção[editar | editar código-fonte]

Seja O a origem de um sistema de coordenadas cartesiano bidimensional. Sejam A, D, E e B quatro pontos em uma linha, com O dividindo a linha AB no meio. Seja AD = EB. Semicírculos são desenhados acima da linha AB com diâmetros AB, AD e EB, e outros semicírculo é desenhado abaixo com diâmetro DE. Uma salinon é a figura delimitada por estes quatro semicírculos.[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Área[editar | editar código-fonte]

Arquimedes introduziu a salinon em seu livro dos lemas aplicando o Livro II, Proposição 10 de Os Elementos de Euclides. Arquimedes notou que "a área da figura delimitada pelos quatro semicírculos é igual à área do círculo com diâmetro CF."[3]

A área da salinon é

A=\frac{1}{4}\pi\left(r_1+r_2\right)^2.[1]

Prova[editar | editar código-fonte]

Seja os pontos médios de AD e EB denotados por G e H, respectivamente. Portanto, AG = GD = EH = HB = r1. Como DO, OF e OE são todos raios do mesmo semicírculo, DO = OF = OE = r2. Por adição de segmentos, AG + GD + DO = OE + EH + HB = 2r1 + r2. Como AB é o diâmetro da salinon, CF é a linha de simetria. Como são todos raios do mesmo semicírculo, AO = BO = CO = 2r1 + r2.

Seja P o centro do círculo. Como CO = 2r1 + r2 e OF = r2, CF = 2r1 + 2r2. Portanto, o raio do círculo é r1 + r2. A área do círculo é portanto π(r1 + r2)2.

Seja x = r1 e y = r2. A área do semicírculo com diâmetro AB é

AB=\frac{1}{2}\pi\left(2x+y\right)^2.

A área do semicírculo com diâmetro DE é

DE=\frac{1}{2}\pi y^2.

A área de cada um dos semicírculos com diâmetros AD e EB é

AD=EB=\frac{1}{2}\pi x^2.

Assim, a área da salinon é

\frac{1}{2}\pi\left(\left(2x+y\right)^2-2x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}\pi\left(2x^2+4xy+2y^2\right)=\pi\left(x^2+2xy+y^2\right)=\pi\left(x+y\right)^2=\pi\left(r_1+r_2\right)^2

Q.E.D.[4]

Arbelos[editar | editar código-fonte]

Quando os pontos D e E coincidem com O, é formada uma arbelos, outra criação de Arquimedes, com simetria no eixo vertical.[3]

Referências

  1. a b Weisstein, Eric W.. "Salinon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Página visitada em 12 de janeiro de 2014.
  2. Nelsen, Roger B.. Mathematics Magazine. [S.l.: s.n.], 2002. p. 130.
  3. a b Bogomolny, Alexander. Salinon: From Archimedes' Book of Lemmas from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Página visitada em 12 de janeiro de 2014.
  4. Umberger, Shannon. Essay # 4 - The Arbelos and the Salinon. Página visitada em 12 de janeiro de 2014.