Segmento circular

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Um segmento circular (mostrado aqui em amarelo) é delimitada por uma secante/corda (a linha tracejada) e um arco de círculo (mostrado acima da área amarela).

Em geometria, um segmento circular (também segmento de círculo) é uma área de um círculo informalmente definido como uma área que é "cortada" do resto do círculo por uma reta secante ou uma corda. O segmento circular constitui a parte entre a secante e um arco, excluindo o centro do círculo.

Fórmula[editar | editar código-fonte]

Seja R o raio do círculo, c o comprimento da corda, s o comprimento do arco, h a altura do segmento e d a altura da porção triangular. A área do segmento circular é igual à área do setor circular menos a área da porção triangular.

O raio é R = h + d \frac{}{}

O comprimento do arco é s = R \theta \frac{}{}, onde  \theta \frac{}{} está em radianos.

A área é A = \frac{R^2}{2}\left(\theta-\sin\theta\right)

O comprimento da corda é c = R \sqrt{2-2 \cos \theta}

onde b é a distância do dentro de gravidade ao centro do círculo e A é a área do segmento.


Derivação da fórmula da área[editar | editar código-fonte]

A área do setor circular é \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2\pi} = R^2\left(\frac{\theta}{2}\right)

Se fizermos a bissetriz do ângulo \theta, e por conseguinte da porção triangular, obteremos dois triângulos com a área \frac{1}{2} R\sin \frac{\theta}{2} R\cos \frac{\theta}{2} ou 2\cdot\frac{1}{2}R\sin\frac{\theta}{2} R\cos\frac{\theta}{2}

= R^2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}

Dado que a área do segmento é a área do setor diminuída da área da porção triangular, temos

R^2\left(\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right)

De acordo com a trigonometria, 2\sin x\cos x = \sin 2x, logo

R\sin\frac{\theta}{2}R\cos\frac{\theta}{2} = \frac{R^2}{2}\sin\theta

Portanto, a área é:

R^2\left(\frac{\theta}{2}-\frac{1}{2}\sin\theta\right)

= \frac{R^2}{2}\left(\theta-\sin\theta\right)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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