Segmento inicial (matemática)

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Conjunto das partes do conjunto \{1,2,3,4\}. A seção colorida em verde é um segmento inicial

Em matemática, mais precisamente em teoria da ordem, um segmento inicial de um conjunto ordenado (X,≤) é um subconjunto S de X tal que se x pertence à S e se yx, então y pertence à S.


Definição[editar | editar código-fonte]

Existe mais do que uma definição aceita, mas elas mudam apenas com relação às exigências impostas à ordem do conjunto X. Por exemplo, nesta definição, exige-se que o conjunto X seja bem ordenado.

Seja X um conjunto bem ordenado. Um subconjunto S \subset X é um segmento inicial de X se satisfizer a condição

\ \ \forall x \in X (x \in S \Rightarrow x^{\leftarrow} \subset S)

onde, x^{\leftarrow} = \{y \in X : y < x \} [1]


Outra definição mais usual é:

Seja X um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto S \subset X é um segmento inicial de X se satisfizer a condição

\ \ \forall x \in X (x \in S \Rightarrow x^{\leftarrow} \subset S)

onde, x^{\leftarrow} = \{y \in X : y < x \} [2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se S é um segmento inicial de um conjunto totalmente ordenado X, então S \ne X \iff \exist x \in X (S = x^{\leftarrow})
  • Se X e Y são conjuntos bem ordenados, então ou X é isomorfo a um segmento inicial de Y, ou Y é isomorfo a um segmento inicial de X. [3]
  • A intersecção finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.
Demonstração
Sejam I = \{1, 2, .. N\} e X um conjunto totalmente ordenado.

Para todo i \in I, considere S_i um segmento inicial de X.

Assim, se y \in \bigcap_{i \in I} S_i , então, \forall i \in I \ \ y \in S_i então, como S_i é um segmento inicial, y^{\leftarrow} \subset S_i, logo, y^{\leftarrow} \subset \bigcap_{i \in I} S_i, portanto, \bigcap_{i \in I} S_i é um segmento inicial de X

  • A união finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.
Demonstração
Sejam I = \{1, 2, .. N\} e X um conjunto totalmente ordenado.

Para todo i \in I, considere S_i um segmento inicial de X.

Assim, se y \in \bigcup_{i \in I} S_i , então, \exist k \in I tal que y \in S_k então, como S_k é um segmento inicial, y^{\leftarrow} \subset S_k, logo, y^{\leftarrow} \subset  \cup_{i \in I} S_i, portanto, \cup_{i \in I} S_i é um segmento inicial de X

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • No caso de um conjunto totalmente ordenado, os segmentos iniciais são intervalos. Em particular, no caso do conjunto R dos números reais, os segmentos iniciais não vazios e não iguais ao prório R são os intervalos de uma das duas formas: ]-\infty,a] ou ]-\infty,a[.
  • \forall k \in \mathbb{N}, \ k^{\leftarrow} é um segmento inicial de \mathbb{N}.
  • Um corte inferior de Dedekind em \mathbb{Q^+} ou, simplesmente, um corte de Dedekind, é um segmento inicial de \mathbb{Q^+}, não vazio, majorado e sem máximo. [4]

Referências

  1. Ruy J. G. B. de Queiroz, Notas de aula do curso de teoria de conjuntos da Universidade Federal de Pernambuco UFPE.
  2. Karel Hrback e Thomas Jech. Introduction to set theory - third edition. ISBN 0-8247-7915-0. Page 104.
  3. Francisco Miraglia, Teoria de conjuntos: um mínimo., editora EDUSP. São Paulo, 1991.
  4. Fernando Ferreira, notas de aula do curso de Conjuntos e Fundamentos da Universidade de Lisboa, 2011.
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