Segmento inicial (matemática)

Conjunto das partes do conjunto $\{1,2,3,4\}$. A seção colorida em verde é um segmento inicial

Em matemática, mais precisamente em teoria da ordem, um segmento inicial de um conjunto ordenado (X,≤) é um subconjunto S de X tal que se x pertence à S e se y≤x, então y pertence à S.

Definição

Existe mais do que uma definição aceita, mas elas mudam apenas com relação às exigências impostas à ordem do conjunto X. Por exemplo, nesta definição, exige-se que o conjunto X seja bem ordenado.

Seja $X$ um conjunto bem ordenado. Um subconjunto $S\subset X$ é um segmento inicial de $X$ se satisfizer a condição

$\ \ \forall x\in X(x\in S\Rightarrow x^{\leftarrow }\subset S)$

onde, $x^{\leftarrow }=\{y\in X:y<x\}$

Outra definição mais usual é:

Seja $X$ um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto $S\subset X$ é um segmento inicial de $X$ se satisfizer a condição

$\ \ \forall x\in X(x\in S\Rightarrow x^{\leftarrow }\subset S)$

onde, $x^{\leftarrow }=\{y\in X:y<x\}$

Propriedades

• Se $S$ é um segmento inicial de um conjunto totalmente ordenado $X$, então $S\neq X\iff \exists x\in X(S=x^{\leftarrow })$
• Se $X$ e $Y$ são conjuntos bem ordenados, então ou $X$ é isomorfo a um segmento inicial de $Y$, ou $Y$ é isomorfo a um segmento inicial de $X$.

• A intersecção finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.

Demonstração
Sejam $I=\{1,2,..N\}$ e $X$ um conjunto totalmente ordenado. Para todo $i\in I$, considere $S_{i}$ um segmento inicial de $X$. Assim, se $y\in \bigcap _{i\in I}S_{i}$, então, $\forall i\in I\ \ y\in S_{i}$ então, como $S_{i}$ é um segmento inicial, $y^{\leftarrow }\subset S_{i}$, logo, $y^{\leftarrow }\subset \bigcap _{i\in I}S_{i}$, portanto, $\bigcap _{i\in I}S_{i}$ é um segmento inicial de $X$

• A união finita de segmentos iniciais é um segmento inicial.

Demonstração

Sejam $I=\{1,2,..N\}$ e $X$ um conjunto totalmente ordenado. Para todo $i\in I$, considere $S_{i}$ um segmento inicial de $X$. Assim, se $y\in \bigcup _{i\in I}S_{i}$, então, $\exists k\in I$ tal que $y\in S_{k}$ então, como $S_{k}$ é um segmento inicial, $y^{\leftarrow }\subset S_{k}$, logo, $y^{\leftarrow }\subset \cup _{i\in I}S_{i}$, portanto, $\cup _{i\in I}S_{i}$ é um segmento inicial de $X$

Exemplos

• No caso de um conjunto totalmente ordenado, os segmentos iniciais são intervalos. Em particular, no caso do conjunto R dos números reais, os segmentos iniciais não vazios e não iguais ao prório R são os intervalos de uma das duas formas: $]-\infty ,a]$ ou $]-\infty ,a[$.
• $\forall k\in \mathbb {N} ,\ k^{\leftarrow }$ é um segmento inicial de $\mathbb {N}$.
• Um corte inferior de Dedekind em $\mathbb {Q^{+}}$ ou, simplesmente, um corte de Dedekind, é um segmento inicial de $\mathbb {Q^{+}}$, não vazio, majorado e sem máximo.