Sequência generalizada

Em matemática, uma seqüência generalizada ou seqüência de Moore-Smith também conhecida pelo nome de origem inglesa net é um conceito que permite generaliza a idéia de limite de seqüências.

Este conceito foi apresentado inicialmente por E. H. Moore e H. L. Smith em 1922. Um conceito parecido, de filtro, foi desenvolvido em 1937 por Henri Cartan.

Definições

• Um conjunto $A\,$ é dito conjunto direcionado se:
  • É não vazio
  • Admite uma ordem parcial $\geq\,$
  • Para todos $\alpha\,$ e $\beta\,$ em $A\,$, existe $\gamma\in A$ tal que $\gamma\geq \alpha\,$ e $\gamma\geq \beta\,$.

• Uma aplicação $x_\alpha:A\to X\,$ é dita uma seqüência generalizada se $A\,$ é um conjunto direcionado e $X\,$ é um espaço topológico.

• $x_\alpha\,$ é dita estar eventualmente em $V\subseteq X\,$ se existe um $\alpha\,$ tal que:

$\gamma\geq\alpha\Longrightarrow x_\gamma\in V\,$

• $x_\alpha\,$ é dita estar freqüentemente em $V\subseteq X\,$ se para todo $\alpha\,$ existe um $\gamma\,$ tal que:

$x_\gamma\in V\,$

• $x_\alpha\,$ converge para $x\in X\,$ se está eventualmente em cada vizinhança de $x\,$.

• $x_\alpha\,$ se acumula em $x\in X\,$ se está freqüentemente em cada vizinhança de $x\,$.

Exemplos

• Uma seqüência é uma seqüência de Moore-Smith onde o conjunto direcionado é os naturais
• Se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,$ é uma função, então $f(x)\,$ é uma seqüência de Moore-Smith onde o conjunto dos números reais é o conjunto direcionado.