Sequência (matemática)

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Uma sucessão (português europeu) ou sequência (português brasileiro) é uma listagem de termos ou elementos que, no sentido usual, são indexados por um conjunto contável em ordem a permitir identificar um termo inicial. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possuí, podendo existir sequências ou infinitas ou finitas. [1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Definição informal[editar | editar código-fonte]

Informalmente, uma sequência é um conjunto S, dotado das seguintes características:[carece de fontes?]

  • Os elementos também são denominados termos da sucessão;
  • Cada termo possui uma posição definida, dentro do conjunto S;
  • A posição de cada termo é determinada por um número natural, denominado índice;
  • Cada termo possui um único índice, e cada índice pertence a um único termo (correspondência biunívoca);
  • Dois termos só podem ser permutados se os seus respectivos índices também forem.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Em análise matemática, define-se uma sequência como uma função f:A\subset\mathbb{N}\to B definida sobre um subconjunto A dos números naturais que toma elementos no conjunto B.[2]

Em especial, e de grande importância no estudo de análise matemática, uma sequência de números reais é uma função f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}. Usualmente para sequências, denotamos o valor de f em n por f_n, em vez de f(n). Este termo f_n é dito ser o n-ésimo termo da sequência, que também pode ser representada por \{f_1, f_2, f_3, f_4, \ldots\} [3] [2] .

Sequências infinitas[editar | editar código-fonte]

Uma sequência numérica infinita é uma função f, tal que f: \mathbb{N}\to B. Representa-se uma sequência infinita, em geral, escrevendo seus termos iniciais seguidos de reticências, ou seja, \ a_1, a_2, a_3,... , ou apresentando seu termo geral quando conhecido, a_n. Outras notações usadas são (a_n), (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (a_1,a_2,a_3,...), \ \{a_n\}_{n=1}^{\infty}  ou ainda {a_n}.[4]

Com menos formalidade, uma sequência numérica infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Exemplos bem simples são

  1. a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
  2. a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);
  3. a sequência de aproximações por falta para \pi (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415,...);
  4. a sequência (1, 1, 1, 1, 1,...).

Sequências monótonas[editar | editar código-fonte]

A sequência de Fibonacci, com n=1...8, uma sequência crescente.

Diz-se que uma sequência a_n é crescente se a_1<a_2<...<a_n<...; e decrescente se a_1>a_2>...>a_n>...

Diz-se que a sequência é não-decrescente se a_1\leq a_2\leq...\leq a_n\leq..., e não-crescente se a_1\geq a_2\geq...\geq a_n\geq...

Uma sequência é monótona se satisfaz qualquer uma das condições descritas acima.[5]

Sequências Limitadas[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma sequência  (a_n) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado (limitado superiormente e limitado inferiormente), isto é, quando existem números reais b, c, k tais que b\leq a_n \leq c (ou de forma equivalente |a_n|\leq k) para todo n\in\mathbb{N}. Isto quer dizer que todos os termos da sequência pertencem ao intervalo [b, c].

Das sequências infinitas apresentadas acima, a única limitada é a "4". É importante ressaltar que sequência limitada não é o mesmo que sequência que possui limite, conforme será apresentado a seguir.

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Teorema[editar | editar código-fonte]

Toda sequência monótona e limitada é convergente.

Sequência limitada? Sucessões finitas: possuem um número finito de termos Sucessões infinitas: possuem um número infinito de termos
Limitadas superiormente e inferiormente S3 = (1, 2, 3, 4, 5, 6); S4 = (-59, -32, 21, -1, 0, 1, 2, 3, -5, 933); S8 = (a1, a2) É possível que uma sequência seja ao mesmo tempo crescente, infinita e limitada. Por exemplo, a sequência cujo termo geral é:

s_n = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^i.

Sequência limitada superiormente: existe um número real b tal que x_n \leq b, para todo natural n, ou ainda, x_n\in(-\infty,b],~\forall n\in\mathbb{N}. Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos) Sn = (...-6, -5, -4, -3, -2, -1)
Sequência limitada (apenas) inferiormente: quando existe a∈R tal que an ≤ x , ∀n∈ N S5 = (1, 2, 3, 4, 5, 6...)
Não, sequência ilimitada (quando não é limitada). Sn = (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...)
Limitadas superiormente e inferiormente x xn=1 para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais. Isto define a sequência constante (1,1,1,1,1,...,1,...); ela é evidentemente limitada, não decrescente e também não crescente.[6] .
Sequência limitada (apenas) superiormente Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos) S9 = (a1, a2, a3, a4, a5,..., an...) caso esta seja uma sucessão numérica e a1 seja o menor número
Sequência limitada (apenas) inferiormente Não é possível; uma sequência não crescente é sempre limitada superiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo [7] .
Não, sequência ilimitada Não é possível; uma sequência não crescente é sempre limitada superiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo.[7]
Limitadas superiormente e inferiormente Exemplo Não é possível que a sequência seja ao mesmo tempo decrescente, infinita e limitada.
Sequência limitada (apenas) superiormente Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos) S6 = \left(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots \right)
Sequência limitada (apenas) inferiormente Exemplo
Não, sequência ilimitada Exemplo
Limitadas superiormente e inferiormente Exemplo xn=1 para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais. Isto define a sequência constante (1,1,1,1,1,...,1,...); ela é evidentemente limitada, não decrescente e também não crescente.[6]
Sequência limitada (apenas) superiormente Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos) Não é possível; uma sequência não decrescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo.[7]
Sequência limitada (apenas) inferiormente Exemplo
Não, sequência ilimitada Não é possível; uma sequência não decrescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo.[7]
Limitadas superiormente e inferiormente S10 = \left(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}\right) xn= 0 para n par e 1 para 1 ímpar. A sequência assim definida é (1,0,1,0,...). Seu conjunto de valores é x(N)={0,1}. A mesma sequência poderia ser definida perla fórmula xn=(1/2)[1+(-1)n+1] ou então por xn= sen²(nπ/2). Esta sequeência é limitada e não é monótona.[6]
Sequência limitada (apenas) superiormente Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos) Exemplo
Sequência limitada (apenas) inferiormente Exemplo
Não, sequência ilimitada S7 = \left(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}...\right)

Observe que:

  • S2 possui mais termos que S1, mas ambas são sucessões finitas: S1 possui 3 termos (3 primeiros dias da semana) e S2 possui 31 termos (os 31 dias do mês de dezembro);
  • As sucessões S3 e S5 parecem ser iguais, mas S3 possui apenas 6 termos, enquanto que as reticências em S5 indicam que a contagem de seus termos jamais termina;
  • As sucessões S6 e S7 parecem ser iguais, mas em S6 todos os termos têm sinal positivo, enquanto que em S7 os termos com denominador par têm sinal negativo;
  • Nem toda sucessão é intuitiva: muitas vezes os termos aparentam ser aleatórios, pelo que identificar um padrão entre eles será tão difícil que permanecerá desconhecido. Um bom exemplo disto é a sucessão S4;
  • O primeiro termo da sucessão S9 é a1, o segundo termo é a2, o terceiro termo é a3, e assim por diante. A notação an é utilizada para representar um termo genérico da sucessão. Como an é o termo de índice n, dizemos que ele é o n-ésimo (ou enésimo) termo da sucessão. É importante notar que an não pode ser o "último" termo de S9, pois S9 é uma sucessão infinita, e uma sucessão infinita não possui um "último termo".

Estrutura[editar | editar código-fonte]

Uma sucessão S, gerada pela função bijetora f a partir do domínio D. Este domínio é o conjunto dos índices da sucessão.

Filosoficamente, toda sucessão possui uma lei de formação (ou seja: a lei que gerou os termos da sucessão). No entanto, isto não garante que sempre será possível escrevê-la. Quando for possível escrevê-la, diremos que a sucessão S efetivamente possui uma lei de formação.

Se a sucessão S efetivamente possuir uma lei de formação e esta lei puder ser escrita usando notação matemática, diremos que esta lei é a função f:\mathbb{N}\mapsto S, em que {\color{CadetBlue}\mathbb{N}} é o conjunto dos índices e S é o conjunto dos termos que são gerados a partir daqueles índices.

Na figura ao lado, observe que:

  1. D e S são conjuntos numéricos finitos;
  2. O conjunto D é um subconjunto de \mathbb{N};
  3. D é o domínio da função f;
  4. S é o contradomínio da função f;
  5. Os elementos do conjunto D são os índices da sucessão S;
  6. A função f, através de sua fórmula (ou expressão, ou sentença), utiliza os índices do conjunto D para gerar os elementos do conjunto S (termos da sucessão S);
  7. A expressão de f é f(n) = 2 . n. Isto significa que esta função "fabrica" termos que são o dobro do valor de seus índices respectivos.

Existindo a função matemática f, sua expressão será composta por uma ou mais funções elementares, e por isto diremos:

  1. Que a expressão da função f é a fórmula do termo geral; e
  2. Que a sucessão S possui representação matemática fechada (dada pela fórmula do termo geral).

Assim, uma sucessão ou sequência matemática S é o resultado da aplicação da função matemática f sobre cada elemento de \mathbb{N}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

1) Seja a sucessão S definida pela função f:\mathbb{N}\mapsto S tal que f(n) = 2^n.

Como f(n) = 2^n, sabemos que a cada índice n (pertencente a \mathbb{N}) existirá um termo respectivo 2^n (pertencente a S).

Portanto, S = (1, 2, 4, 8, 16, 32...)

A correspondência entre cada termo da sucessão S e o seu índice pode ser representada em uma tabela, como segue:

índice → 0 1 2 3 4 5 ... n
fórmula do termo → 20 21 24 25 ... 2n
termo → 1 2 4 8 16 32 ... 2n

2) Outro bom exemplo de sequência é a enumeração ordenada crescente dos números naturais não-nulos (\mathbb{N}^*):

S = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...).

Neste caso, a função f:\mathbb{N}\mapsto S é tal que f(n)=n+1.

Tal qual no exemplo anterior, podemos utilizar uma tabela para representar os índices e termos da sucessão, assim como a relação que obtém cada termo a partir do seu índice:

índice → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... n
fórmula do termo → 0+1 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9+1 10+1 11+1 ... n+1
termo → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... n+1

Se S for o conjunto dos inteiros (\mathbb{Z}), então tratar-se-á de uma sucessão inteira. Se S for um conjunto de polinômios, então tratar-se-á de uma sucessão polinomial.

Em certos casos, pode-se falar em convergência e em divergência da sucessão. Isto é discutido em mais detalhes no artigo sobre limites.

A sintaxe na notação matemática[editar | editar código-fonte]

Para representar uma sucessão, também é comum o uso da notação {a_{n}}. Porém, os matemáticos mais formais tendem a rejeitar este formato. O motivo é que em matemática faz-se uso das chaves sempre que se deseja representar um conjunto através da enumeração dos seus elementos, ou quando se deseja dispor da sua lei de formação. Assim, pode-se por exemplo escrever o conjunto A = {2,4,8,16,32,64,128,256}, ou ainda representá-lo por A = {2k | k \in {1,2,3,4,5,6,7,8}}.

Nota: o conjunto A acima também pode ser entendido como o conjunto de todas as potências de base 2 e expoente k, em que k é um número natural que pertence ao conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8}. Portanto, A = {21,2²,2³,24,25,26,27,28} = {2,4,8,16,32,64,128,256}.

O problema é que, em teoria dos conjuntos, a ordem e a frequência com que os elementos aparecem e se repetem nada afetam a estrutura do conjunto. Portanto, se B = {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2}, cada um dos elementos de B existe também em A (e vice-versa), e o fato de alguns elementos do conjunto B se repetirem pode (e deve) ser ignorado, pois elementos repetidos são computados somente uma vez, sendo indiferente representar B por {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2} ou sinteticamente por {8,256,64,16,2,128,4,32}. Portanto, embora a ordem em que aqueles elementos apareçam nos dois conjuntos seja diferente, e embora em B alguns elementos se repitam, na verdade A e B têm exatamente os mesmos elementos. Consequentemente, pode-se afirmar que A = B.

Por outro lado, quando se deseja representar um par ordenado, usam-se os parênteses: (x,y). Do mesmo modo, uma tripla ordenada poderia ser representada por (x,y,z) e uma quádrupla ordenada de números inteiros poderia ser representada por (-1000,2,68,-19).

A diferença essencial entre o par {x,y} e o par (x,y) é a questão da ordem: no caso do par {x,y} a ordem não importa, portanto o par {y,x} é igual ao par {x,y}, e ambos representam um conjunto que possui dois elementos: x e y.

Já o par ordenado (x,y) é diferente do par ordenado (y,x), pois neste caso a ordem importa (daí o uso da palavra ordenado). Isto explica o motivo por que, uma vez que os pares (2,3) e (3,2) são diferentes — e essa diferença está justamente na posição ocupada por cada um de seus elementos — é necessário que esses pares sejam representados entre parênteses, ao invés de entre chaves.

De maneira similar ao caso dos pares ordenados, uma sucessão possui uma ordem (determinada pelo índice de cada elemento da sucessão), e por isto escrever {1,2,3,4,5} é diferente de escrever (1,2,3,4,5). No caso do conjunto {1,2,3,4,5}, a ordem não importa, portanto o conjunto também poderia ser representado por {5,3,1,2,4}, e está correto escrever {1,2,3,4,5} = {5,3,1,2,4}. Já no caso do conjunto ordenado (1,2,3,4,5), também denominado ênupla ordenada ou n-upla ordenada, devido à presença de n termos ou elementos na sucessão (n = 5, neste caso), interessa a posição ocupada por cada elemento, e portanto (1,2,3,4,5) é diferente de (5,3,1,2,4).

Finalmente, tendo em vista que uma sucessão possui noção de ordem (devido ao estabelecimento de um índice de posição para cada elemento da sequência), é importante representar o conjunto dos n elementos da sucessão através da n-upla ordenada (a1,a2,a3,a4,...,an), o que pode ser abreviadamente representado por (an), e um matemático mais formal rejeitará a forma {an} por entender que, neste segundo caso, a noção de ordem foi desprezada.

Recursão[editar | editar código-fonte]

Nota: caso sinta dificuldade com o símbolos utilizados nesta seção, ou mesmo neste artigo, consulte os artigos que tratam de notação matemática, simbologia matemática e lógica matemática. Também é altamente recomendável consultar a tabela de símbolos matemáticos.

Pode-se definir uma sucessão de modo recursivo. Este modo consiste em estabelecer um ou mais termos iniciais e, a partir dele(s), atribuir uma lei de formação em que cada novo termo dependa do(s) termo(s) antecedente(s).

Os termos iniciais (ou geradores) deverão possuir índice menor que o do termo que se deseja gerar. Exemplo: para que seja possível gerar recursivamente o termo an, é necessário que exista pelo menos um termo de índice menor que n.

Assim, fixado um conjunto de constantes C = {c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6...} (\sub\mathbb{N}), uma sucessão recursiva genérica natural S (com termo a0 \in \mathbb{N} pré-definido) pode ser definida por uma função g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} que tenha a seguinte forma: a_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}, \forall c,i,n \in \mathbb{N} \land \forall n>0

Note que, no exemplo acima, devemos ter n>0, uma vez que a0 já está pré-definido. Portanto, se a0 = w (um valor natural qualquer) e desejamos encontrar o valor de a1, temos que realizar a seguinte sequência de cálculos: a_{1}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}  \begin{matrix} _{_{(n=1)}} \\ \Rightarrow \end{matrix}  a_{1}=\sum_{i=0}^{1-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}=\sum_{i=0}^{0} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . a_{0} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . w (RESPOSTA)

Do mesmo modo, se desejarmos encontrar o valor de a2, deveremos realizar a seguinte sequência de cálculos: a_{2}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}  \begin{matrix} _{_{(n=2)}} \\ \Rightarrow \end{matrix}  a_{2}=\sum_{i=0}^{2-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}=\sum_{i=0}^{1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}= c_{0} . a_{0} + c_{1} . a_{1}

\Rightarrow a_{2}= c_{0} . w + c_{1} . (c_{0} . w) \Rightarrow a_{2}= c_{0} . (w + w. c_{1}) \Rightarrow a_{2}= c_{0} . w . (1 + c_{1}) \Leftrightarrow a_{2}= c_{0} . (1 + c_{1}) . w (RESPOSTA)

No caso acima, a escolha das constantes do conjunto C foi aleatória. Porém, pode-se também obter essas constantes de forma sistemática. A título de exemplo, sejam fixadas duas constantes naturais k e m (com k > m). As constantes ci podem ser obtidas a partir de uma função j:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} tal que j(i) = c_{i} = k.i - m, \forall c,i,k,m \in \mathbb{N}

Esse tipo de sucessão pode ficar ainda mais complicado, bastando definir uma função r que, por exemplo, "transforme" a i-ésima constante natural ci em um número real (\mathbb{R}) ou complexo (\mathbb{C}). Exemplo:

r:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} = \sqrt[3]{\frac{-x}{4}}, \forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow a_{n} = \sum_{i=0}^{n-1} {r(c_{i})^i . a_{i}}, \forall c,i,n \in \mathbb{N}

Nota: observe que, no exemplo acima, r(c_{i})^i \in \mathbb{R}

Sucessão recursiva[editar | editar código-fonte]

Existem três modalidades de sucessão recursiva muito conhecidas em matemática: a Progressão Aritmética (P.A.), a Progressão Geométrica (P.G.) e a Progressão Harmônica (P.H.).

A diferença essencial entre as três é que:

  • Na P.A., cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra r;
  • Na P.G., cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Essa razão é geralmente representada pela letra q;
  • Na P.H., cada inverso do termo é igual à soma do inverso do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.H.". Essa razão é geralmente representada pela letra h.

Em P.A., P.G. e P.H., a função f que as descreve tem domínio em \mathbb{N}^*. Isso significa que o primeiro termo da progressão será f(1) (ou então a1), em vez de f(0) ou a0.

Progressão Aritmética[editar | editar código-fonte]

A Progressão Aritmética é uma sucessão recursiva \mathbb{A} definida assim:

  • a:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{A}

(definição da função a)

  • a_n = a_1 + (n-1).r

(fórmula do termo geral)

  • a_n = a_{n-1} + r

(fórmula da recursão aritmética, que é outra maneira de se calcular a_n)

  • a_1 e r são constantes previamente definidas

Exemplos de P.A.:

  • (a_{1} = 1, r = 1): (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)
  • (a_{1} = -3, r = 5): (-3,2,7,12,17,22,27,...)
  • (a_{1} = 13, r = -3): (13,10,7,4,1,-2,-5...)

Progressão Geométrica[editar | editar código-fonte]

A Progressão Geométrica é uma sucessão recursiva \mathbb{G} definida assim:

  • g:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{G}

(definição da função g)

  • g_n = g_1.q^{(n-1)}

(fórmula do termo geral)

  • g_n = g_{n-1}.q

(fórmula da recursão geométrica, que é outra maneira de se calcular g_n)

  • g_1 e q são constantes previamente definidas

Exemplos de P.G.:

  • (g_{1} = 1, q = 1): (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)
  • (g_{1} = 3, q = -1): (3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)
  • (g_{1} = 16, q = \frac{-1}{2}): (16,-8,4,-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}...)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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Referências

  1. Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53
  2. a b LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.
  3. CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://cattai.webnode.com/ensino/uneb/analiseum/>. Acesso em: 09 janeiro 2011. Página 38.
  4. Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7.
  5. Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. p. 85. ISBN 9788521203957.
  6. a b c LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição. Página 103.
  7. a b c d LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição. Página 102.
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