Sequência (matemática)

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Em matemática, o conceito de sucessão (português europeu) ou sequência (português brasileiro) tem significado similar ao uso comum da palavra, mas recebe uma definição precisa. Formalmente falando, uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possuí, podendo existir sequências ou infinitas ou finitas. [1]

Definição e Notação[editar | editar código-fonte]

Em análise matemática, define-se uma sequência como uma função f:A\subset\mathbb{N}\to B definida sobre um subconjunto A dos números naturais que toma elementos no conjunto B.[2]

Usualmente para sequências, denotamos o valor de f em n por f_n, em vez de f(n). Este termo f_n é dito ser o n-ésimo termo da sequência. A notação (f_n)_{n\in A} é usada para denotar a sequência f, cujos índices são tomados no conjunto A. Quando o conjunto dos índices A está subentendido, normalmente escrevemos (f_n)_{n} ou, simplesmente, (f_n). Por extenso, escrevemos (f_n)_n = (f_1, f_2, f_3, \ldots). Observamos, ainda, que as notações \ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} e \{f_n\} também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.[3] [4] [5] [6] [7]

Sequências infinitas[editar | editar código-fonte]

Uma sequência numérica infinita é uma função f: \mathbb{N}\to B, cujo domínio é o conjunto dos número naturais.[5] [6] [7] Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:

  1. a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
  2. a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);
  3. a sequência de aproximações por falta para \pi (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415,...);
  4. a sequência (1, 1, 1, 1, 1,...).

Sequência de números reais[editar | editar código-fonte]

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais (a_n)_n é uma função a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. [5] [6] São exemplos de sequências reais:

a) \left(\frac{1}{n}\right)_n = \left(1,~\frac{1}{2},~\frac{1}{3},~\ldots,~\frac{1}{n},~\ldots\right)

b) (2n-4)_n = (-2,~0,~2,~\ldots,~2n-4,~\ldots)

c) (1,~-1,~1,~\ldots,~(-1)^n,~\ldots)

Sequências definidas de forma recursiva[editar | editar código-fonte]

Dizemos que uma sequência (a_n)_n esta recursivamente definida quando são dados o seu primeiro termo a_1 e uma lei explícita que relaciona seu n-ésimo termo, n > 1, com um ou mais termos anteriores, i.e. é explicitamente dada uma função a_n = f(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}). Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.

Na sequência, apresentamos algumas sequências recorrentes comumente estudas.

Progressão Aritmética[editar | editar código-fonte]

Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra r. Escrevemos então a_n = a_1 + (n-1)r ou a_n = a_{n-1} + r, onde a_1 e r são constantes previamente definidas.

Exemplos
  • a_{1}=1, r=1: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}+1, a_1=1, n=2, 3, ...
  • a_{1}= -3, r = 5: (-3,2,7,12,17,22,27,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}+5, a_1=-3, n=2, 3, ...
  • a_{1} = 13, r = -3: (13,10,7,4,1,-2,-5...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}-3, a_1=13, n=2, 3, ...

Progressão Geométrica[editar | editar código-fonte]

Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja, (a_n)_n é uma progressão geométrica quando a_n = a_{n-1}q, n > 1, tendo sido dados o primeiro termo a_1 e a razão q.

Exemplos
  • a_{1}=1, q=1: (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}1, a_1=1, n=2, 3, ...
  • a_{1}=3, q=-1: (3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}(-1), a_1=3, n=2, 3, ...
  • a_{1} = 16, q = -\frac{1}{2}: (16,-8,4,-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}\left(-\frac{1}{2}\right), a_1=16, n=2, 3, ...

Sequência de Fibonacci[editar | editar código-fonte]

Espiral baseada na sequência de Fibonacci.

A sequência de Fibonacci (f_n)_n é definida por f_1=0,  f_2=1 e f_n=f_{n-2}+f_{n-1}, paran=3,4,5,..., i.e.:

(f_n)_n = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

Método para extração da raiz quadrada[editar | editar código-fonte]

Exemplo ilustrativo do método da raiz quadrada.

Dado um número positivo qualquer c, desejamos encontrar um número x positivo tal que x^2 = c. Suponhamos, agora, que nos é conhecida apenas uma aproximação \tilde{x} > 0 para x. Notemos que:

\tilde{x}\frac{c}{\tilde{x}} =c

e, observamos que:

  1. \sqrt{c} é um valor entre \tilde{x} e \frac{c}{\tilde{x}};
  2. se a aproximação \tilde{x} aumenta de valor, então o fator \frac{c}{\tilde{x}} diminui e vice-versa;
  3. x é solução de x^2 = c, se x = \frac{c}{x}.

Destas observações, vemos que uma melhor aproximação para \sqrt{c} pode ser obtida tomando a média aritmética entre \tilde{x} e \frac{c}{\tilde{x}}, i.e.:

a_1=\frac{1}{2}(\tilde{x}+\frac{c}{\tilde{x}}).

Agora, a_1 é uma nova aproximação de x e, repetindo o argumento acima, temos que a média:

a_2=\frac{1}{2}(a_1+\frac{c}{a_1})

é uma aproximação para x ainda melhor que a_1.

Seja, então, (a_n)_n a sequência definida recursivamente por:

a_1=\tilde{x},\quad a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{c}{a_{n-1}}), n=2, 3, ....

Podemos mostrar que a_n converge para \sqrt{c}. Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.[6]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53
  2. LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.
  3. CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.
  4. Halmos, Paul R.. Teoria ingênua do conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna, 2001. ISBN 9788573931419.
  5. a b c Lima, Elon Lages. Curso de Análise - Volume 1. 14. ed. [S.l.]: IMPA, 2013. ISBN 9788524401183.
  6. a b c d Ávila, Geraldo. Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher, 1995. ISBN 8521201680.
  7. a b Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
  • Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.
  • Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
  • Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.
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