Sigma-álgebra

Em matemática, uma σ-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) X sobre um conjunto S é uma coleção de subconjuntos de S a qual é fechada sobre operações contáveis de União, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em S. O conceito é importante em análise e probabilidade.

Definição formal

Formalmente, X é uma σ-álgebra se e somente se X possui as seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio está em X,
2. Se E está em X, então o mesmo ocorre para o complemento de E.
3. Se E₁, E₂, E₃,… é uma seqüência em X, então sua união (contável) também está em X.

De 1 e 2 segue que S está em X; de 2 e 3 segue que a σ-álgebra também é fechada sobre interseções (via leis de De Morgan).

Um par ordenado (S, X), onde S é um conjunto e X é uma σ-álgebra sobre S, é chamado de um espaço mensurável.

Propriedades

• Associado a um espaço amostral S podemos ter muitas diferentes sigmas-álgebras. Se S é qualquer conjunto, então a coleção consistindo de apenas o conjunto vazio e S é uma σ-algebra sobre S, a chamada σ-álgebra trivial. Outra σ-álgebra sobre S é dada pelo conjunto das partes de S.
• Se {X_a} é uma família de σ-álgebras sobre S, então a interseção de todos os subconjuntos X_a é também uma σ-álgebra sobre S.
• Se U é uma coleção arbitrária de subconjuntos de S, então pode-se formar uma σ-álgebra especial a partir de U, chamada σ-álgebra gerada por U e denotada por σ(U). Define-se σ(U) da seguinte maneira:

Primeiramente, nota-se que existe uma σ-álgebra sobre S que contém U, por exemplo, o conjunto das partes de S.

Considere Φ como sendo a coleção (não-vazia) de todas as σ-álgebras sobre S que contém U (isto é, uma σ-álgebra X sobre S está em Φ se e somente se U está em X). Então, define-se σ(U) como sendo a interseção de todas σ-álgebras em Φ. σ(U) é pois a menor σ-álgebra sobre S que contém U.

• A σ-álgebra de Borel: a definição acima nos leva ao quiçá mais importante exemplo de σ-álgebra: a Álgebra de Borel sobre qualquer espaço topológico, gerada pelos conjuntos abertos (ou, equivalentemente, pelos conjuntos fechados). Note que esta σ-álgebra não é geralmente o conjunto potência de tal espaço. Para um exemplo não-trivial, veja Conjunto de Vitali.
• A σ-álgebra de Lebesgue: no Espaço euclidiano Rⁿ, outra σ-álgebra é importante: a formada por todos os conjuntos mensuráveis (Lebesgue). Todo elemento da sigma-álgebra de Borel está na sigma-álgebra de Lebesgue, mas o contrário não é verdadeiro. Esta é a sigma-álgebra preferida na teoria de integrais. O Conjunto de Vitali é o exemplo padrão de um subconjunto de números reais que não está nesta sigma-álgebra.

Exemplo

Se o espaço amostral $X=\left \{ 1,2,3 \right \}$, então o sigma-álgebra $\mathfrak{B}$ é a seguinte sequência de $2^3=8$ subconjuntos:

$\mathfrak{B}=\left \{\left \{ \varnothing \right \};\left \{ 1 \right \};\left \{ 2 \right \};\left \{ 3 \right \};\left \{ 1,2 \right \};\left \{ 1,3 \right \};\left \{ 2,3 \right \}; \left \{ 1,2,3 \right \}\right \}$.

Repare que esta família de subconjuntos de X atende às propriedades de um sigma- álgebra, ou seja, o conjunto vazio está em X, os conjuntos e seus complementos também estão, e, finalmente, as sequencias e suas uniões também.

Ver também

• função mensurável
• espaço amostral
• Capítulo sobre Sigma álgebra (em inglês) do Department of Mathematics at Louisiana State University