Sigma-álgebra

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Em matemática, uma σ-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) X sobre um conjunto S é uma coleção de subconjuntos de S a qual é fechada sobre operações contáveis de União, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em S. O conceito é importante em análise e probabilidade[1] .

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Formalmente, X é uma σ-álgebra se e somente se X possui as seguintes propriedades[2] [3] :

  1. O conjunto vazio está em X,
  2. Se E está em X, então o mesmo ocorre para o complemento de E.
  3. Se E1, E2, E3,… é uma seqüência em X, então sua união (contável) também está em X[1] .

De 1 e 2 segue que S está em X; de 2 e 3 segue que a σ-álgebra também é fechada sobre interseções (via leis de De Morgan).

Um par ordenado (S, X), onde S é um conjunto e X é uma σ-álgebra sobre S, é chamado de um espaço mensurável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Associado a um espaço amostral S podemos ter muitas diferentes sigmas-álgebras[4] . Se S é qualquer conjunto, então a coleção consistindo de apenas o conjunto vazio e S é uma σ-algebra sobre S, a chamada σ-álgebra trivial. Outra σ-álgebra sobre S é dada pelo conjunto das partes de S.
  • Se {Xa} é uma família de σ-álgebras sobre S, então a interseção de todos os subconjuntos Xa é também uma σ-álgebra sobre S.
  • Se U é uma coleção arbitrária de subconjuntos de S, então pode-se formar uma σ-álgebra especial a partir de U, chamada σ-álgebra gerada por U e denotada por σ(U). Define-se σ(U) da seguinte maneira:
Primeiramente, nota-se que existe uma σ-álgebra sobre S que contém U, por exemplo, o conjunto das partes de S.
Considere Φ como sendo a coleção (não-vazia) de todas as σ-álgebras sobre S que contém U (isto é, uma σ-álgebra X sobre S está em Φ se e somente se U está em X). Então, define-se σ(U) como sendo a interseção de todas σ-álgebras em Φ. σ(U) é pois a menor σ-álgebra sobre S que contém U.
  • A σ-álgebra de Borel: a definição acima nos leva ao quiçá mais importante exemplo de σ-álgebra: a Álgebra de Borel sobre qualquer espaço topológico, gerada pelos conjuntos abertos (ou, equivalentemente, pelos conjuntos fechados). Note que esta σ-álgebra não é geralmente o conjunto potência de tal espaço. Para um exemplo não-trivial, veja Conjunto de Vitali.
  • A σ-álgebra de Lebesgue: no Espaço euclidiano Rn, outra σ-álgebra é importante: a formada por todos os conjuntos mensuráveis (Lebesgue). Todo elemento da sigma-álgebra de Borel está na sigma-álgebra de Lebesgue, mas o contrário não é verdadeiro. Esta é a sigma-álgebra preferida na teoria de integrais. O Conjunto de Vitali é o exemplo padrão de um subconjunto de números reais que não está nesta sigma-álgebra.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se o espaço amostral X=\left \{ 1,2,3 \right \}, então o sigma-álgebra \mathfrak{B} é a seguinte sequência de 2^3=8 subconjuntos:[4]

\mathfrak{B}=\left \{ \varnothing ;\left \{ 1 \right \};\left \{ 2 \right \};\left \{ 3 \right \};\left \{ 1,2 \right \};\left \{ 1,3 \right \};\left \{ 2,3 \right \}; \left \{ 1,2,3 \right \}\right \}.

Repare que esta família de subconjuntos de X atende às propriedades de um sigma- álgebra, ou seja, o conjunto vazio está em X, os conjuntos e seus complementos também estão, e, finalmente, as sequencias e suas uniões também.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Basics of Probability Theory, site do Department of Economics da University of Minnesota
  2. CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência Estatistica. São Paulo: Cengage Learning, 2010. ISBN 9788522108947. Página 5.
  3. Capítulo sobre Sigma álgebra (em inglês) do Department of Mathematics at Louisiana State University
  4. a b CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência Estatistica. São Paulo: Cengage Learning, 2010. ISBN 9788522108947. Página 6.
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