Sistema autônomo (matemática)

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Na teoria dos sistemas dinâmicos, um sistema autônomo é um sistema de equações diferenciais ordinárias que não depende nas variáveis independentes.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um sistema autônomo de ordem n é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))

onde x é um vetor de n dimensões.

Note que a função f\, não depende de t\,

Sistema autônomo de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

Um sistema autônomo de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma:

  • \frac{d}{dt} x(t) = f(x)\,

onde x(t)\, é uma função real da variável t.

Solução[editar | editar código-fonte]

A técnica de resolução consiste em separar os diferenciais:

  • \frac{d x}{f(x)} =dt\,

e integrar:

  • \int_{t_0}^t\frac{d x}{f(x)}dx =t-t_0\,

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • \frac{d}{dt} x(t) = x^2\,

restrito à condição inicial x(0)=1\, A solução é dada por:

  • \frac{1}{x(0)}-\frac{1}{x(t)}  = t\,

ou, resolvendo para x\,:

  • x(t)=\frac{1}{1-t},~~ t<1\,
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