Sistema axiomático

Na matemática, um sistema axiomático, é qualquer conjunto de axiomas que podem ser ligados em conjunção para derivação lógica de teoremas. A matemática teórica consiste em um sistema axiomático e todos os seus teoremas. Um sistema axiomático que é completamente descrito é um tipo especial de sistema formal; porém o esforço para a formalização traz diminuição da certeza, e da legibilidade para pessoas. Uma prova formal é uma interpretação de uma prova matemática dentro de um sistema formal.

Propriedades

Um sistema axiomático é dito consistente se não há contradição, i.e., não possui capacidade de derivar a afirmação e negação de uma mesma sentença.

Em um sistema axiomático, um axioma é chamado de independente se não é um teorema que pode ser derivado através de outros axiomas do sistema. Um sistema será chamado de independente se todos os seus axiomas são independentes. Contudo independência não é um necessária para ser um sistema, já a consistência é.

Um sistema axiomático, será chamado de completo se para toda sentença ou sua afirmação ou sua negação é derivável.

Consistência relativa

Além de consistência, consistência relativa é também uma característica de um sistema axiomático. Isso acontece quando termos indefinidos de um sistema axiomático são definições definidas por um outro sistema, de maneira que os axiomas do primeiro são teoremas do segundo.

Um bom exemplo é a consistência relativa é o da geometria neutra ou geometria absoluta, relacionada a teoria do sistema dos números reais. Retas e pontos são termos indefinidos na geometria absoluta, mas possuem significados atribuídos na teoria dos números reais de maneira que são consistentes em ambos sistemas axiomáticos.

Modelos

Um modelo (matemática) para um sistema axiomático é um conjunto de expressões bem definidas, cujos valores dos termos indefinidos pertencentes ao conjunto são atribuídos de maneira que é correto com relação aos predicados definidos no sistema. A existência de um modelo concreto prova a consistência do sistema. Um modelo é dito concreto se os valores atribuídos aos objetos são relações (predicados) do mundo real, em oposição a um modelo abstrato, o qual é baseado em outro modelo axiomático.

Modelos podem também ser usados para mostrar a independência de um axioma em um sistema . Construindo um modelo válido para um subsistema sem o axioma especificado, mostra-se que o axioma omitido é independente se a corretura do subsistema não é afetada.

Dois modelos são ditos isomórficos se uma bijeção puder ser encontrada entre seus elementos, de maneira que preserve suas relações. Um sistema axiomático para o qual todo modelo é isomórfico a outro é chamado de categórico (categorial), e a propriedade de categorialidade garante a completude do sistema.

Método Axiomático

O método axiomático envolve substituir um corpo coerente de proposições(i.e. uma teoria matemática) por uma coleção mais simples de proposições(i.e. axiomas). Os axiomas são desenvolvidos de forma que o corpo original de proposições podem ser deduzidos dos axiomas.

O método axiomático, trouxe ao extremo, os resultado no logicismo. No livro Principia Mathematica, Alfred North e Bertrand Russel tentaram mostrar que toda teoria matemática poderia ser reduzida a uma coleção de axiomas. De forma mais geral, a redução para um corpo de proposições para uma coleção particular de axiomas desmente o programa de pesquisa matemática. Essa foi uma maneira proeminente na matemática do século 21, em particular em assuntos baseados em torno da álgebra homológica

A explicação dos axiomas usados em uma teoria podem ajudar a clarear a um nível adequado de abstração, que o matemático gostaria de trabalhar. Por exemplo, matemáticos optaram que um anel (matemática) não precisam ser cumultativos, o que eu difere da formulação original de Emmy Noether. Matemáticos decidiram em considerar espaços topológicos mais geralmente, sem o axioma de separação que Felix Haudorff originalmente formulou.

Os axiomas de Zermelo-Fraenkel, o resultado do método axiomático aplicado a um conjunto teórico, permitiu a formulação correta de um conjunto de problemas teóricos e ajudou a evitar os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos. Um dos problemas foi o da hipótese do continuum

História

Euclides de Alexandria criou as primeiras axiomáticas existentes, a [geometria euclidiana]] e a teoria dos números. Muitos sistemas axiomáticos foram desenvolvidos no século 19, incluindo geometria não euclidiana, os fundamentos da análise real, a teoria dos conjuntos de Cantor, o trabalho de Fegre em fundamentos, e uso do novo método axiomático de Hilbert como ferramenta de pesquisa. Por exemplo, a teoria dos grupos foi a primeira a ser posta em uma base axiomática no final do século 19. Uma vez que axiomas foram esclarecidos(os quais elemento inverso,deveria ser requerido, por exemplo), o assunto poderia proceder de forma autônoma, sem referência às origens do ação (matemática) desses estudos.

Issues

Não é todo corpo consistente de proposições que podem ser descritos por uma coleção de axiomas. Uma coleção de axiomas é chamado de recursivo se um programa de computador pode reconhecer se uma dada proposição na linguagem é um axioma. O Teorema da incompletude de Gödel diz que há certos corpos consistentes de proposições sem axiomatização(do inglês axiomatization) recursiva. Tipicamente, um computador pode reconhecer axiomas e regras lógicas para derivar teoremas, e se uma prova é válida, mas para determinar se a prova para uma afirmação existe deve-se esperar e ver se a prova ou a negação é gerada. O resultado não saberá quais proposições são teoremas e dessa maneira método axiomático é quebrado. Um exemplo deste tipo de corpo é a teoria dos números naturais. Os axiomas de Peano apenas descrevem parcialmente essa teoria.

Na prática, não é toda prova que pode ser reduzida aos axiomas. As vezes, não está claro a que coleção de axiomas uma prova utiliza. Por exemplo, uma sentença da teoria dos números pode ser expressa em linguagem aritmética(i.e. na linguagem do axiomas de Peano) e a prova pode se utilizar de topologia à análise complexa.

Qualquer sistema de axiomas mais ou menos arbitrário é uma base para alguma teoria matemática, mas estes sistemas não estão necessariamente livres de contradições, e mesmo que estejam, não é necessário que clarifique alguma coisa. Filósofos da matemática as vezes afirmam que matemáticos escolhem axiomas arbitrários, mas a verdade é que apesar deles parecerem arbitrários quando vistos por um ponto de vista específico da lógica dedutiva, isso é apenas uma limitação no propósito que lógica dedutiva serve.

Exemplo: Axiomas de Peano

O sistema matemático de números naturais 0 ,1 ,2 ,3 ,4... é baseado em um sistema axiomático que foi o primeiramente escrito por Peano em 1889. Ele escolheu os axiomas, na linguagem(estrutura) de um único símbolo de função S.(sucessor), para o conjunto dos numero naturais. Para um conjunto os números naturais são:

• 0 é um número natural ;
• Todo numero natural x possui um sucessor, denotado por s(x);
• Não há numero natural y tal que s(y) = 0;
• Números naturais distintos possuem sucessores distintos. Se a≠ b então S(a) ≠ S(b).
• Se 0 e o sucessor de todo numero natural apresentam uma propriedade então todo numero natural possui essa propriedade.

Axiomatização

Na matemática, axiomatização, é a formulação de um sistema de afirmações (i.e. axiomas) que relaciona um número de termos primitivos, de maneira que um corpo consistente de proposições pode ser derivado dedutivamente dessas afirmações. Assim a prova de qualquer proposição pode, em principio, ser reduzidos aos axiomas.

Ver também

• Teorema da incompletude de Gödel
• Axiomas de Peano