Sistema infinito de Dedekind

Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito, infinito de Dedekind ou Sistema infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu "infinito" dessa maneira no seu famoso artigo de 1888 O que são e o que precisam ser os números.

Definição e exemplos

Dado um conjunto A, dizemos que A é Dedekind-infinito se A é equipotente a B, com B⊆A e B≠A. Pela definição de equipotência, isso significa que existe uma função bijetiva entre A e B.

Como exemplo, consideremos o conjunto do números naturais $\mathbb N$ e a função $f$

$f: \mathbb N \rightarrow {\mathbb N}^+ ,\;\;\;\;\; \mbox{tal que}\;\;\; f(n) = n + 1.$

Onde ${\mathbb N}^+$ é o conjunto dos inteiros positivos: ${\mathbb N}^+ = {\mathbb N} - \{ 0 \}$. Portanto, o conjunto dos números naturais e Dedekind-infinito. Para um outro exemplo, considere o intervalo fechado $\;\;\left[ 0{,}\; 2 \right]$ em $\mathbb R$ e a função:

$f: \left[ 0{,}\; 2 \right] \rightarrow \left[ 0{,}\; 1 \right],\;\;\;\;\; \mbox{tal que}\;\;\; f(x) = \frac{x}{2}$.

Portanto, o intervalo $\left[ 0{,}\; 2 \right]$ é Dedekind-infinito.

Propriedades básicas

As seguintes propriedades podem ser demonstradas em ZF sem o axioma da escolha.

• Se A é Dedekind-infinito, então A é infinito.
• Se B é Dedekind-finito e A⊆B, então A é Dedekind-finito. Portanto, se A é Dedekind-infinito e A⊆B, então B é Dedekind-infinito.
• Todo conjunto enumerável é Dedekind-infinito.
• Um conjunto A é Dedekind-infinito se e somente se A tem um subconjunto enumerável.
• Se $A$ é Dedekind-infinito, então ${\mathcal P}\left(A\right)$ é Dedekind-infinito.
• Se $A$ é infinito, então ${\mathcal P}\left({\mathcal P}(A)\right)$ é Dedekind-infinito.

Dedekind infinito e o axioma da escolha

O axioma da escolha implica em ZF a recíproca das proposições acima:

• Se A é infinito, então A é Dedekind-infinito.
• Se ${\mathcal P}\left(A\right)$ é Dedekind-infinito, então $A$ é Dedekind-infinito.

Mas essas proposições não podem ser demonstradas sem o axioma da escolha, se ZF é consistente.

Bibliografia

• Dedekind, Richard. Gesammelte mathematische Werke (em alemão). Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Capítulo: Was sind und was sollen die Zahlen?, p. 335−391. vol. III.
• Hrbacek, Karen; Jech, Thomas. Introduction to set theory (em inglês). 3a. ed. New York: Marcel Dekker, 1999.
• Jech, Thomas. The axiom of Choice (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1973.
• Levy, Azriel. Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover, 2002.