Dedekind-infinito

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Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu "infinito" dessa maneira no seu famoso artigo de 1888 O que são e o que precisam ser os números.[1]

Definição e exemplos[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto A, dizemos que A é Dedekind-infinito se A é equipotente a B, com BA e BA. Pela definição de equipotência, isso significa que existe uma função bijetiva entre A e B.[2]

Como exemplo, consideremos o conjunto do números naturais \mathbb N e a função f

f: \mathbb N \rightarrow {\mathbb N}^+ ,\;\;\;\;\; \mbox{tal que}\;\;\; f(n) = n + 1.

Onde {\mathbb N}^+ é o conjunto dos inteiros positivos: {\mathbb N}^+ = {\mathbb N} - \{ 0 \}. Portanto, o conjunto dos números naturais e Dedekind-infinito. Para um outro exemplo, considere o intervalo fechado  \;\;\left[ 0{,}\; 2 \right] em  \mathbb R e a função:

 f: \left[ 0{,}\; 2 \right] \rightarrow  \left[ 0{,}\; 1 \right],\;\;\;\;\; \mbox{tal que}\;\;\; f(x) = \frac{x}{2} .

Portanto, o intervalo  \left[ 0{,}\; 2 \right] é Dedekind-infinito.

Propriedades básicas[editar | editar código-fonte]

As seguintes propriedades podem ser demonstradas em ZF sem o axioma da escolha.

  • Se A é Dedekind-infinito, então A é infinito.[3]
  • Se B é Dedekind-finito e AB, então A é Dedekind-finito.[4] Portanto, se A é Dedekind-infinito e AB, então B é Dedekind-infinito.
  • Todo conjunto enumerável é Dedekind-infinito.[2]
  • Um conjunto A é Dedekind-infinito se e somente se A tem um subconjunto enumerável.[5]
  • Se A é Dedekind-infinito, então {\mathcal P}\left(A\right) é Dedekind-infinito.[6]
  • Se A é infinito, então {\mathcal P}\left({\mathcal P}(A)\right) é Dedekind-infinito.[7]

Dedekind infinito e o axioma da escolha[editar | editar código-fonte]

O axioma da escolha implica em ZF a recíproca das proposições acima:

  • Se A é infinito, então A é Dedekind-infinito.[8]
  • Se {\mathcal P}\left(A\right) é Dedekind-infinito, então A é Dedekind-infinito.[9]

Mas essas proposições não podem ser demonstradas sem o axioma da escolha, se ZF é consistente.[10]

Referências

  1. Dedekind 1932, §5, 64, p. 356.
  2. a b Hrbacek Jech [1999] , p. 97.
  3. No sentido habitual de infinito: A não tem n elementos para algum número natural n.
  4. Levy [2002] , p. 92.
  5. Ibid.
  6. Considere os {x} com x no subconjunto enumerável de A.
  7. Ibid.
  8. Levy [2002] , p. 167.
  9. Note que A é infinito.
  10. Jech [1973] , p. 95.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Dedekind, Richard. Gesammelte mathematische Werke (em ). Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Capítulo: Was sind und was sollen die Zahlen?. p. 335−391. vol. III.
  • Hrbacek, Karen; Jech, Thomas. Introduction to set theory (em ). 3a.. ed. New York: Marcel Dekker, 1999.
  • Jech, Thomas. The axiom of Choice (em ). Amsterdam: Elsevier, 1973.
  • Levy, Azriel. Basic set theory (em ). Mineola, New York: Dover, 2002.