Soma da série de Grandi

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Considerações gerais[editar | editar código-fonte]

Estabilidade e linearidade[editar | editar código-fonte]

As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de 12 inclui:

  • Adição ou subtração de duas séries termo-a-termo,
  • Multiplicação através de um termo-a-termo escalar,
  • "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e
  • Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série.

Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma série convergente.

Todavia, há muitos métodos de soma que respeitam essas manipulações e que atribuem uma "suma" à série de Grandi. Dois destes métodos mais simples são: soma de Cesàro e soma de Abel.[1]

Separação de escalas[editar | editar código-fonte]

Dado qualquer função φ(x) tal que φ(0) = 1, o limite de φ a +∞ é 0, e a derivada de φ é integral sobre (0, +∞), então a generalizada φ-soma da série de Grandi existe e é igual a 12:

S_\varphi = \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty(-1)^m\varphi(\delta m) = \frac12.

A soma de Cesàro ou Abel é recuperada por deixar de φ ser uma função triangular ou exponencial, respectivamente. Se φ é assumido adicionalmente ser continuamente diferenciável, então a reivindicação pode ser provada aplicando o teorema do valor médio e convertendo a soma em em integral. Rapidamente:

\begin{array}{rcl}
S_\varphi & = &\displaystyle \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty\left[\varphi(2k\delta) - \varphi(2k\delta-\delta)\right] \\[1em]
  & = & \displaystyle \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty\varphi'(2k\delta+c_k)(-\delta) \\[1em]
  & = & \displaystyle-\frac12\int_0^\infty\varphi'(x) \,dx = -\frac12\varphi(x)|_0^\infty = \frac12.
\end{array}[2]

Notas e referências

  1. Davis pp.152, 153, 157
  2. Saichev pp.260-262

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Bromwich, T.J.. An Introduction to the Theory of Infinite Series. 2e ed. [S.l.: s.n.], 1926.
  • Davis, Harry F.. Fourier Series and Orthogonal Functions. [S.l.]: Dover, maio-1989. ISBN 0-486-65973-9
  • Hardy, G.H.. Divergent Series. [S.l.]: Clarendon Press, 1949.
  • Kline, Morris. (novembro 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine 56 (5): 307-314.
  • Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. [S.l.]: Birkhaüser, 1996. ISBN 0-8176-3924-1,
  • Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. [S.l.]: University of Oregon Press, 1925.
  • Weidlich. Summability methods for divergent series. [S.l.]: Stanford M.S. theses, junho-1950.
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.