Soma de Borel

Em matemática, uma soma de Borel é uma generalização da noção comum de soma de uma série. Em particular, provê uma definição de uma quantidade que em numerosos aspectos comporta-se formalmente como uma soma, ainda no caso de que a série seja divergente.

Definição

Seja

$y = \sum_{k = 0}^\infty y_kz^{-k}$

uma série de potência formal em $z$.

Define-se a transformada de Borel $\mathcal{B}y$ de $y$ mediante

$\sum_{k=0}^\infty \frac{y_k}{(k-1)!}t^{k-1}.$

Supondo que

1. $\mathcal{B}y$ tem um radio de convergência não nulo como função de $t$
2. $\mathcal{B}y$ pode ser continuada em forma analítica a uma função $\hat{y}(t)$ sobre toda a reta real positiva
3. $\hat{y}(t)$ como cresce muito em forma exponencial ao longo da reta real

Então, a soma de Borel de $y$ está dada pela transformada de Laplace de $\hat{y}(t)$. A existência desta função está garantida pela condição (3) indicada anteriormente.

Discussão

A soma de Borel de uma série é a transformada de Laplace da soma das anti-transformadas de Laplace termo a termo da série original. Se a transformada de Laplace de uma série infinita for igual à soma da transformada de Laplace termo a termo então, a soma de Borel seria igual à soma comum. A soma de Borel é definida em muitas situações nas que a soma não está definida. Expressando-o em termos planos, permite dar-lhe um significado à 'soma' de certo tipo de séries divergentes. A suma de Borel é um exemplo de um método de momento constante para somar séries.