Soma de Cesàro

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Em análise matemática, a soma de Cesàro é um meio alternativo de descrever a soma de uma série infinita. Se a série converge, no senso usual, para uma soma α, então a série é também somável por Cesàro e possui valor α. A importância da soma de Cesàro é que uma série divergente pode ter uma soma de Cesàro bem definida.

O método recebe esse nome em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja {an} uma seqüência, e seja

s_k = a_1 + \cdots + a_k

onde a é k-ésima soma parcial da série

\sum_{n=1}^\infty a_n.

A seqüência {an} é dita somável no sentido de Cesàro, com soma de Cesàro α, se

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \alpha.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Seja an = (-1)n+1 para n ≥ 1. Isto é, {an} é a seqüência

1, -1, 1, -1, \ldots.

Então a seqüência das somas parciais {sn} é

1, 0, 1, 0, \ldots,

então esta série, conhecida como série de Grandi, claramente não converge. Por outro lado, os temos da sequência {(s1 + ... + sn)/n} são

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

e daí

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.

Conseqüentemente a soma de Cesàro da seqüencia {an} é 1/2.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Em 1890, Ernesto Cesàro determinou uma extensa família de métodos de soma que haviam sido chamadas (C, n) para inteiros não negativos n. O método (C, 0) é apenas uma somatória ordinária, e (C, 1) é a somatória de Cesàro como descrita acima.

Os métodos de alta ordem podem ser descritas como segue: dado uma série Σan, defini-se as quantidades

A_n^{-1}=a_n; A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}

e define-se Enα como sendo Anα para a série 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Então a soma (C, α) de Σan é

\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}

se ela existir.[1]

Notas

  1. Shawyer and Watson pp.16-17

Referências[editar | editar código-fonte]

Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. [S.l.]: Oscford UP, 1994. ISBN 0-19-853585-6