Soma de Gauss

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A descoberta[editar | editar código-fonte]

Conta-se que um professor de Matemática mandou aos alunos de sua turma que somassem de 1 a 100 como forma de castigo. O professor ficou surpreso quando um dos alunos, Carl Friedrich Gauss, havia feito a soma corretamente em pouco tempo de uma outra forma.

Eis a ideia de Gauss:

Soma de 1 a 100: S = 1+2+3+...+99+100

A ordem não altera a soma: S = 100+99+98+...+2+1

Soma-se de membro a membro as duas igualdades:

S = 1+2+3+...+99+100

S = 100+99+98+...+2+1

______________________

S+S = (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(99+2)+(100+1)

2S = 101+101+101+101+...+101 (100 vezes)

2S = 101*100

S = [100 (100+1)]/2

S = 5050

Generalizando:

S = 1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n

2S = (n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1) (n vezes)

2S = n(n+1)

S = [n(n+1)]/2

Logo, 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2

Exemplos[editar | editar código-fonte]

1) S = 1+2+3+...+68+69+70

S = [70(70+1)]/2

S = (70*71)/2

S = 2485

2)M = 41+42+43+...+150

Neste caso existem duas formas de encontrar a resposta.

1ª forma : M = 41+42+43+...+150

M = (40+1)+(40+2)+(40+3)+...+(40+110)

M = (40+40+40+...+40)+ (1+2+3+...+110)

M = (40*110)+[(110*111)/2]

M = 4400+6105

M = 10505

2ª forma: M = 41+42+43+...+150

M = (1+2+3+...+150)-(1+2+3+...+40)

M = [(150*151)/2]-[(40*41)/2]

M = 11325-820

M = 10505