Soma de Riemann

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Quatro dos métodos do somatório de Riemann para aproximação da área sob curvas. Métodos à direita e à esquerda fazem a aproximação usando os pontos finais à direita e à esquerda de cada subintervalo, respectivamente. Métodos máximo e mínimo fazem a aproximação usando o maior e menor valores de pontos finais de cada subintervalo, respectivamente. Os valores das somas convergem como os subintervalos da metade superior à esquerda a baixo à direita.

Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total inferior à curva em um gráfico, de outro modo conhecida como uma integral. Pode também ser usada para definir a operação integração. O método é nomeado em relação ao matemático alemão Bernhard Riemann.

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere uma função f: DR, onde D é um subconjunto dos números reais R e I = [a, b] um intervalo fechado contido em D. Dizemos que um conjunto finito de pontos {x0, x1, x2, ... xn} tais que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b é uma partição P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]} de I. De notar que a definição de partição não implica intervalos iguais entre o conjunto finito de pontos.

Definimos a soma de Riemann de f em I com a partição P como

S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})

onde xi-1yixi. A escolha de yi neste intervalo é arbitrária. Se yi = xi-1 para todo o i, então S é chamado uma soma de Riemann à esquerda. Se yi = xi, então S é chamada uma soma de Riemann à direita. Se yi = (xi+xi-1)/2, então S é chamado uma soma de Riemann média. A média das somas de Riemann à direita e à esquerda é a soma trapezoidal.

Se é dado que

S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1})

onde vi é o supremo de f sobre [xi-1, xi], então S é definido ser uma soma de Riemann superior. Similarmente, se vi é o ínfimo de f sobre [xi−1, xi], então S é uma soma de Riemann inferior.

Qualquer soma de Riemann (isto é, uma soma obtida com qualquer escolha de yi entre xi-1 e xi) sobre uma dada partição está entre as somas de Riemann inferior e superior. Uma função é definida ser integrável pela integral de Riemann se as somas de Riemann inferior e superior se tornarem mais próximas à medida que a partição se torne mais fina (ou seja, conforme se aumente o númeto de pontos na partição P de I, que é o mesmo que dizer que a amplitude da partição é diminuída), ou seja, se as somas inferiores e superiores convergirem para o mesmo valor. Este facto pode também ser usado para a integração numérica.


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Referências[editar | editar código-fonte]

  • Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7