Soma direta

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O conceito de soma direta é recorrente em álgebra, se aplicando a diversas estruturas algébricas, como grupos, anéis e espaços vetoriais. A soma direta é o que, em teoria das categorias, é conhecido por coproduto de estruturas algébricas.

Soma direta de espaços vetoriais[editar | editar código-fonte]

Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre um campo K. O espaço vetorial V \oplus W, resultante da soma direta entre V e W, é definido da forma seguinte:

V \oplus W = \left\{ \vec{v} + \vec{w}  \, | \, \vec{v} \in V, \vec{w} \in W \right\}

Soma direta de grupos abelianos[editar | editar código-fonte]

Dada uma família \mathcal{F}=\{G_i\}_{i \in I} de grupos abelianos, definimos a soma direta de \mathcal{F}, denotada por \oplus_{i \in I}G_i, como sendo o grupo cujos elementos são I-uplas (x_i)_{i \in I} cujas entradas são todas nulas, a menos um de um subconjunto finito de índices em I, e cuja soma entre (x_i)_{i \in I},(y_i)_{i \in I} \in \oplus_{i \in I} S_i é (x_i+y_i)_{i \in I}. Utilizamos aqui a notação aditiva de grupos.

Soma direta de dois grupos[editar | editar código-fonte]

A soma direta de dois grupos G e H é (pela definição de coproduto) o grupo mais genérico contendo subgrupos isomórficos a G e a H, e em que cada elemento é o produto (finito) de elementos destes subgrupos.

Identificando G e H com os subgrupos da soma direta, temos, por exemplo, que se x for um elemento de G e y um elemento de H, x2y10x-1yx-3 será um elemento da soma direta.

De modo geral, qualquer elemento da soma direta é uma expressão da forma:

g_1^{k_1} h_2^{k_2} g_3^{k_3} \ldots h_n^{k_n}\,

em que os gs pertencem ao subgrupo isomórfico a G, os hs ao subgrupo isomórfico a H. Esta representação não é única, pois alguns g e h podem ser o elemento neutro da soma direta.