Soma telescópica

Em matemática, a soma telescópica é uma soma da seguinte forma:

$(a_2-a_1) + (a_3 - a_2) + (a_4- a_3) + \ldots + (a_{n}-a_{n-1})\,$

Esta soma pode ser simplificada:

$(a_2-a_1) + (a_3 - a_2) + (a_4- a_3) + \ldots + (a_{n}-a_{n-1})=a_n-a_1\,$

Naturalmente qualquer seqüência de termos $b_n\,$ pode ser escrita como uma soma telescópica:

$b_n = b_1 + (b_2-b_1) + (b_3-b_2) + \ldots + (b_n-b_{n-1})\,$

Exemplo

$\begin{align} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ & {} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} -\frac{1}{N+1}\right) \\ & {} = 1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \\ & {} = 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{quando}\ N\to\infty. \end{align}$

A série telescópica

Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n)=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}-a_1=\lim_{n\to\infty}a_n-a_1$

A série telescópica converge, portante, se e somente se existe o limite $\lim_{n\to\infty}a_n\,$