Subconjunto

A é um subconjunto de B.

Em teoria dos conjuntos, diz-se que o conjunto A é subconjunto do conjunto B se todos os elementos de A estiverem em B. Se B contiver elementos que não estão em A, então A diz-se um subconjunto próprio de B. Quando A é um subconjunto de B, diz-se que B é um superconjunto de A.

Classificamos em 2 possibilidades:

• Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencerem a outro conjunto B, dizemos que A esta contido em B.
• Se nem todo ou nenhum elemento de A for elemento de B, dizemos que A não está contido em B. Usando certos símbolos.

OBSERVAÇÃO:

• Todo conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja, A está contido em A.

Cardinalidade

Se A é um subconjunto de B, então A tem uma cardinalidade não superior à de B. Quando B é finito e A é um subconjunto próprio de B, então a cardinalidade de A é inferior à de B. Se B é um conjunto infinito, tem subconjuntos próprios com a mesma cardinalidade de B. O conjunto de todos os subconjuntos de B chama-se o conjunto de partes de B.

Exemplos

• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.
• O conjunto {1,2} tem quatro subconjuntos: o conjunto vazio, {1}, {2} e {1,2}.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Notação

A notação de subconjunto não é padronizada. Existem duas notações para subconjunto:

$A \subseteq B\,$ indica, de forma não-ambígua, que A é um subconjunto de B

$A \subset B\,$ pode indicar que A é um subconjunto de B, ou pode indicar que A é um subconjunto próprio de B, ou seja, que $A \subseteq B \land A \neq B\,$

Quando for necessário explicitar que A é um subconjunto próprio de B, pode-se usar a notação:

$A \varsubsetneq B \iff A \subseteq B \land A \neq B\,$

Analogamente, temos que:

$A \supseteq B \iff B \subseteq A\,$

$A \supset B \iff B \subset A\,$

$A \varsupsetneq B \iff B \varsubsetneq A\,$