Subespaço vetorial

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Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.

Definição[editar | editar código-fonte]

A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma:

Sejam (V, F, \oplus_V, \otimes_V, +, \times)\, e (W, F, \oplus_W, \otimes_W, +, \times)\, espaços vetoriais sobre o corpo (F, +, \times)\,. Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer:

  • W \subset V\,
  • \forall w_1 \forall w_2 (w_1 \in W \land w_2 \in W \rightarrow w_1 \oplus_W w_2 = w_1 \oplus_V w_2)\,
  • \forall x \forall w (x \in F \land w \in W \rightarrow x \otimes_W w = x \otimes_V w)\,

Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por:

  • \oplus_V / (W \times W) = \oplus_W\,
  • \otimes_V / (F \times W) = \oplus_W\,

usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio.

De modo geral, quando se diz que (V, F, \oplus, \otimes, +, \times)\, é um espaço vetorial e W \subset V\,, presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que 0_V \in W\, e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Em \mathbb{R}^3\,, o conjunto \mathbb{R}^2 \times \{ 0 \}\, é um subespaço vetorial.
  • Se considerarmos que \mathbb{C}\, é um espaço vetorial sobre \mathbb{Q}\,, então \mathbb{R}\, é um subespaço vetorial.
  • O conjunto W = \{(x,y,z):x+y+z=0\} é um subespaço vetorial de \R^3.
  • Os exemplos acimas são casos particulares de uma classe de exemplos: seja L: V \to W\, uma função linear. Então o núcleo de L (denotado por ker(L)) e a imagem de L (denotada por Im(L)) são subespaços vetoriais, respectivamente, de V e W.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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