Subespaço vetorial

Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.

Definição

A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma:

Sejam $(V, F, \oplus_V, \otimes_V, +, \times)\,$ e $(W, F, \oplus_W, \otimes_W, +, \times)\,$ espaços vetoriais sobre o corpo $(F, +, \times)\,$. Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer:

• $W \subset V\,$

• $\forall w_1 \forall w_2 (w_1 \in W \land w_2 \in W \rightarrow w_1 \oplus_W w_2 = w_1 \oplus_V w_2)\,$

• $\forall x \forall w (x \in F \land w \in W \rightarrow x \otimes_W w = x \otimes_V w)\,$

Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por:

• $\oplus_V / (W \times W) = \oplus_W\,$

• $\otimes_V / (F \times W) = \oplus_W\,$

usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio.

De modo geral, quando se diz que $(V, F, \oplus, \otimes, +, \times)\,$ é um espaço vetorial e $W \subset V\,$, presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que $0_V \in W\,$ e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.

Exemplos

• Em $\mathbb{R}^3\,$, o conjunto $\mathbb{R}^2 \times \{ 0 \}\,$ é um subespaço vetorial.

• Se considerarmos que $\mathbb{C}\,$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb{Q}\,$, então $\mathbb{R}\,$ é um subespaço vetorial.

• O conjunto $W = \{(x,y,z):x+y+z=0\}$ é um subespaço vetorial de $\R^3$.

• O conjunto dado pelas equações paramétricas $W = \{(u + 3 v, -u - v, 2 u + v): u,v \in \R\}$ é um subespaço vetorial de $\R^3$.

• Os exemplos acimas são casos particulares de uma classe de exemplos: seja $L: V \to W\,$ uma função linear. Então o núcleo de L (denotado por ker(L)) e a imagem de L (denotada por Im(L)) são subespaços vetoriais, respectivamente, de V e W.

Ver também

• Wikilivros

• Base de um Espaço Vetorial