Subgrupo

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Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam (G,*) um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Dizemos que H é um subgrupo de G se H é fechado para a operação de G e é um grupo. Notação: H \leq G.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Os subgrupos de \Z são os conjuntos n\Z dos múltiplos de n\,\!, para cada n\in\Z.
  • (\mathbb{Z},+) é um subgrupo de (\mathbb{Q},+);
  • (\mathbb{Z},+) é um subgrupo de (\mathbb{Q},+);
  • O conjunto  \{1,i,-i,-1\} é um subgrupo dos  \mathbb{C},\cdot) com a multiplicação usual de números complexos..

Resultado Importante[editar | editar código-fonte]

Para verifcar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo. Contudo a proposição abaixo facilita este trabalho.

Proposição 1: Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G.Então H é um subgrupo de G se e somente se, para todo a,b \in H implica que a*b^{-1} \in H.

Propriedades hereditárias[editar | editar código-fonte]

Os grupos têm as seguintes propriedades hereditárias, isto é, se um grupo tem uma das propriedades seguintes, também os seus subgrupos a têm:

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