Subsequência

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Em matemática, uma subseqüência, subsequência ou subsucessão de uma seqüência é uma nova seqüência formada por elementos da primeira, mantendo a ordem original.[1]

Notação[editar | editar código-fonte]

Seja \{x_n\}_{n=1}^{\infty} uma seqüência, então uma subseqüência é uma nova seqüência \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\,, onde n_1\geq 1\, e n_{k+1}>n_k\, [1]

Usando a notação da Teoria dos Conjuntos, uma sequência (de elementos em um conjunto X) é uma função x: \mathbb{N} \to X\,, e uma subsequência é a função composta s o n\,, em que n é uma sequência estritamente crescente de números naturais, n: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\, [1]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja x_n = \frac{1}{n^2}\,. Então a seqüência dos inversos dos quadrados dos números ímpares é uma subsequência, escolhendo-se n_k = 2 k + 1\,.[1]

Topologia[editar | editar código-fonte]

Em Topologia, define-se o conceito de um espaço sequencialmente compacto:

  • Um espaço topológico X é sequencialmente compacto quando toda seqüência x_i \in X\, tem uma subseqüência convergente.

Um subconjunto de um espaço métrico é compacto se, e somente se, ele é sequencialmente compacto.

Este resultado é muito importante para análise da reta, porque, muitas vezes, é mais simples mostrar que um espaço é sequencialmente compacto (exibindo-se uma subseqüência convergente) do que trabalhar com coberturas de abertos.

Referências

  1. a b c d Iva Stavrov, Lewis and Clark College, Department of Mathematical Sciences, Subsequences [em linha]

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