Subvariedade

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Em matemática, a subvariedade de uma variedade M é um subconjunto S que possui ele próprio a estrutura de uma variedade, e para o qual a função inclusão SM satisfaz certas propriedades. Existem diferentes tipos de subvariedades que dependendo de quais propriedades são exatamente exigidas. Diferentes autores frequentemente tem diferentes definições.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

No que segue nós assumimos que todas as variedades são variedades diferenciáveis de classe C^r para um r \ge 1 fixado, e que todos os morfismos são diferenciáveis de classe C^r.

Subvariedades imersas[editar | editar código-fonte]

Uma subvariedade imersa de uma variedade M é a imagem S de uma função imersão f: N \to M; em geral esta imagem não será uma subvariedade como um subconjunto, e uma função imersão não precisa sequer ser injetiva – pode ter auto-interseções.[1]

Mais restritamente, podemos exigir que a função f: N \to M seja uma inclusão (injetora), chamada neste caso de imersão injetora, e definir uma subvariedade imersa como sendo o subconjunto imagem S justamente com uma topologia e uma estrutura diferenciável tal que S é uma variedade e a inclusão f é um difeomorfismo: esta é justamente a topologia sobre N, que em geral não vai coincidir com a topologia de subconjunto: em geral o subconjunto S não é uma subvariedade de M, no topologia de subconjunto.

Dada uma imersão injetiva f: N \to M há uma única forma de dar a imagem de N em M uma estrutura de subvariedade imersa de modo que f: N \to M seja um difeomorfismo. Disto segue que as subvariedades imersas são precisamente as imagens de imersões injetivas.

A topologia de subvariedade em uma subvariedade imersa não precisa ter a topologia relativa herdada de M. Em geral, ela será uma topologia mais fina que a topologia de subespaço, ou seja, com mais conjuntos abertos.

Subvariedades imersas ocorrem na teoria dos grupos de Lie onde os subgrupos de Lie são naturalmente subvariedades imersas.

Subvariedades mergulhadas[editar | editar código-fonte]

Uma subvariedade mergulhada (também chamada de subvariedade regular), é uma subvariedade imersa cuja função de inclusão é um mergulho topológico. Isto é, a topologia de subvariedade em S é a mesma que a topologia de subespaço.

Dado um mergulho f: N \to M de uma variedade N em M, a imagem f(N) tem naturalmente a estrutura de uma subvariedade mergulhada. Isto é, subvariedade mergulhadas são exatamente as imagens de mergulhos.

Existe uma definição intrínseca de uma subvariedade mergulhada, que muitas vezes é útil. Seja M uma variedade de dimensão n, e seja k um inteiro tal que 0 ≤ kn. Uma subvariedade mergulhada de M de dimensão k é um subconjunto SM tal que para todo ponto pS existe uma carta (UM, φ : URn) contendo p tal que φ(SU) é a interseção de um plano de dimensão k com φ(U). Os pares (SU, φ|SU) formam um atlas para a estrutura diferencial em S.

O Teorema de Alexander e o Teorema de Jordan-Schoenflies são bons exemplos de mergulhos suaves.

Outras variações[editar | editar código-fonte]

Existem algumas outras variações de subvariedades utilizados na literatura. Sharpe (1997) define um tipo de subvariedade que fica em algum lugar entre uma subvariedade mergulhada e uma subvariedade imersa.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Dada qualquer subvariedade imersa S de M, o espaço tangente a um ponto p em S pode, naturalmente, ser considerado como um subespaço vetorial do espaço tangente a p em M. Isso resulta do fato de que a função de inclusão é uma imersão e fornece uma injeção

i_{\ast}: T_p S \to T_p M.

Suponha que S é uma subvariedade imersa de M. Se a função de inclusão i: S \to M é uma aplicação fechada então S é na verdade uma subvariedade mergulhada de M. Reciprocamente, se S é uma subvariedade mergulhada que é também um subconjunto fechado então a função de inclusão é fechada. A função de inclusão i: S \to M é fechada se e somente se a função própria (isto é, imagens inversas de conjuntos compactos são compactos). Se i é fechada então S é chamada de subvariedade mergulhada fechada de M. Subvariedades mergulhadas fechadas formam a mais bonita classe de subvariedades.

Subvariedades do Espaço Euclidiano[editar | editar código-fonte]

Variedades são frequentemente definidas como subvariedades mergulhadas no espaço euclidiano Rn, de modo que este constitui um caso especial, muito importante. Pelo Teorema da imersão Whitney qualquer n-variedade suave que seja um espaço segundo-contável pode ser facilmente mergulhado em R2n.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Sharpe, R. W.. Título não preenchido. Favor adicionar. [S.l.: s.n.], 1997. página 26

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. New York: Springer, 2003. ISBN 0-387-95495-3.
  • Sharpe, R. W.. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer, 1997. ISBN 0-387-94732-9.
  • Warner, Frank W.. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. New York: Springer, 1983. ISBN 0-387-90894-3.