Sequência (matemática)

 Nota: Para outros significados, veja Sequência.

Uma sequência é uma lista ordenada de objetos, números ou eventos^{[carece de fontes]}. Frequentemente nos deparamos com situações em que enumeramos elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação:

1. Da sucessão dos presidentes de um país;
2. Da sequência dos episódios de uma minissérie de televisão;

Repare que há dois aspectos importantes na sequência: o tipo^{[carece de fontes]} e a ordem dos elementos. Todos os elementos de uma sucessão são do mesmo tipo^{[carece de fontes]} (por exemplo: apenas presidentes) e obedecem uma ordenação (por exemplo: primeiramente ocorre o primeiro episódio da minissérie, depois o segundo episódio, depois o terceiro episódio...).

Em matemática, uma sequência (ou uma sucessão) é uma lista (conjunto) de números (ou variáveis que os representem). Formalmente, a sequência é uma lista cuja ordem é definida por uma "lei", uma função específica.

Definição formal

Uma sucessão ^{(português europeu)} ou sequência ^{(português brasileiro)} é definida como sendo um conjunto $S,$ dotado das seguintes características:

1. Todos os seus elementos são do mesmo tipo (por exemplo: capítulos de uma telenovela);^{[carece de fontes]}
2. Os elementos também são denominados termos da sucessão;
3. Cada termo possui uma posição definida, dentro do conjunto $S;$
4. A posição de cada termo é determinada por um número natural, denominado índice;
5. Cada termo possui um único índice, e cada índice pertence a um único termo (correspondência biunívoca);
6. Dois termos só podem ser permutados se os seus respectivos índices também forem.

Sequência de números reais

Uma sequência de números reais é uma função f:N→R para a qual denotamos o valor de f em n por f_n, em vez de f(n). Este termo f_n é dito como sendo o n-ésimo termo da sequência, que também pode ser representada por {f₁, f₂, f₃, f₄...} .

Tipos de sequências

Existem sequências não numéricas, como S₁ = (domingo, segunda-feira, terça-feira) e S₂ = (1º de dezembro, 2 de dezembro, 3 de dezembro,..., 29 de dezembro, 30 de dezembro, 31 de dezembro), mas as numéricas são de maior interesse para a Matemática. Elas podem ser classificadas de acordo com diversos critérios:

Sequência monótona?	Sequência limitada?	Sucessões finitas: possuem um número finito de termos	Sucessões infinitas: possuem um número infinito de termos
Sim: sequência crescente (ocorre se $\forall n\in\mathbb N:a_n<a_{n+1};$)	Limitadas superiormente e inferiormente	S3 = (1, 2, 3, 4, 5, 6); S4 = (-59, -32, 21, -1, 0, 1, 2, 3, -5, 933); S8 = (a1, a2)	Não é possível que a sequência seja ao mesmo tempo crescente, infinita e limitada.
	Sequência limitada (apenas) superiormente: existe um número real b tal que xn ≤ b, para todo natural n, ou ainda, x ( b] n ∈ (−∞,b]	Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos)	Sn = (...-6, -5, -4, -3, -2, -1)
	Sequência limitada (apenas) inferiormente: quando existe a∈R tal que an ≤ x , ∀n∈ N		S5 = (1, 2, 3, 4, 5, 6...)
	Não, sequência ilimitada (quando não é limitada).		Sn = (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...)
Sim: sequência não crescente	Limitadas superiormente e inferiormente	x	xn=1 para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais. Isto define a sequência constante (1,1,1,1,1,...,1,...); ela é evidentemente limitada, não decrescente e também não crescente. .
	Sequência limitada (apenas) superiormente	Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos)	S9 = (a1, a2, a3, a4, a5,..., an...) caso esta seja uma sucessão numérica e a1 seja o menor número
	Sequência limitada (apenas) inferiormente		Não é possível; uma sequência não crescente é sempre limitada superiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo .
	Não, sequência ilimitada		Não é possível; uma sequência não crescente é sempre limitada superiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo.
Sim: sequência decrescente	Limitadas superiormente e inferiormente	Exemplo	Não é possível que a sequência seja ao mesmo tempo decrescente, infinita e limitada.
	Sequência limitada (apenas) superiormente	Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos)	S6 = $\left(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots \right)$
	Sequência limitada (apenas) inferiormente		Exemplo
	Não, sequência ilimitada		Exemplo
Sim: sequência não decrescente	Limitadas superiormente e inferiormente	Exemplo	xn=1 para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais. Isto define a sequência constante (1,1,1,1,1,...,1,...); ela é evidentemente limitada, não decrescente e também não crescente.
	Sequência limitada (apenas) superiormente	Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos)	Não é possível; uma sequência não decrescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo.
	Sequência limitada (apenas) inferiormente		Exemplo
	Não, sequência ilimitada		Não é possível; uma sequência não decrescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo, por exemplo.
Não	Limitadas superiormente e inferiormente	S10 = $\left(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}\right)$	xn= 0 para n par e 1 para 1 ímpar. A sequência assim definida é (1,0,1,0,...). Seu conjunto de valores é x(N)={0,1}. A mesma sequência poderia ser definida perla fórmula xn=(1/2)[1+(-1)n+1] ou então por xn= sen²(nπ/2). Esta sequeência é limitada e não é monótona.
	Sequência limitada (apenas) superiormente	Não é possível que uma sequência seja ao mesmo tempo finita e ilimitada (seja superiormente, inferiormente ou ambos)	Exemplo
	Sequência limitada (apenas) inferiormente		Exemplo
	Não, sequência ilimitada		S7 = $\left(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}...\right)$

Observe que:

• S₂ possui mais termos que S₁, mas ambas são sucessões finitas: S₁ possui 3 termos (3 primeiros dias da semana) e S₂ possui 31 termos (os 31 dias do mês de dezembro);
• As sucessões S₃ e S₅ parecem ser iguais, mas S₃ possui apenas 6 termos, enquanto que as reticências em S₅ indicam que a contagem de seus termos jamais termina;
• As sucessões S₆ e S₇ parecem ser iguais, mas em S₆ todos os termos têm sinal positivo, enquanto que em S₇ os termos com denominador par têm sinal negativo;
• Nem toda sucessão é "bonitinha": muitas vezes os termos serão muito diferentes uns dos outros, e identificar um padrão entre eles será tão difícil que permanecerá desconhecido. Um bom exemplo disto é a sucessão S₄;
• O primeiro termo da sucessão S₉ é a₁, o segundo termo é a₂, o terceiro termo é a₃, e assim por diante. A notação a_n é utilizada para representar um termo genérico da sucessão. Como a_n é o termo de índice n, dizemos que ele é o n-ésimo (ou enésimo) termo da sucessão. É importante notar que a_n não pode ser o "último" termo de S₉, pois S₉ é uma sucessão infinita, e uma sucessão infinita não possui um "último termo".

Estrutura

Uma sucessão S, gerada pela função bijetora f a partir do domínio D. Este domínio é o conjunto dos índices da sucessão.

Filosoficamente, toda sucessão possui uma lei de formação (ou seja: a lei que gerou os termos da sucessão). No entanto, isto não garante que sempre será possível escrevê-la. Quando for possível escrevê-la, diremos que a sucessão $S$ efetivamente possui uma lei de formação.

Se a sucessão $S$ efetivamente possuir uma lei de formação e esta lei puder ser escrita usando notação matemática, diremos que esta lei é a função $f:\mathbb{N}\mapsto S,$ em que ${\color{CadetBlue}\mathbb{N}}$ é o conjunto dos índices e $S$ é o conjunto dos termos que são gerados a partir daqueles índices.

Na figura ao lado, observe que:

1. D e S são conjuntos numéricos finitos;
2. O conjunto D é um subconjunto de $\mathbb{N};$
3. D é o domínio da função f;
4. S é o contradomínio da função f;
5. Os elementos do conjunto D são os índices da sucessão S;
6. A função f, através de sua fórmula (ou expressão, ou sentença), utiliza os índices do conjunto D para gerar os elementos do conjunto S (termos da sucessão S);
7. A expressão de f é f(n) = 2 . n. Isto significa que esta função "fabrica" termos que são o dobro do valor de seus índices respectivos.

Existindo a função matemática $f,$ sua expressão será composta por uma ou mais funções elementares, e por isto diremos:

1. Que a expressão da função $f$ é a fórmula do termo geral; e
2. Que a sucessão $S$ possui representação matemática fechada (dada pela fórmula do termo geral).

Assim, uma sucessão ou sequência matemática $S$ é o resultado da aplicação da função matemática $f$ sobre cada elemento de $\mathbb{N}.$

Exemplos

1) Seja a sucessão $S$ definida pela função $f:\mathbb{N}\mapsto S$ tal que $f(n) = 2^n.$

Como $f(n) = 2^n,$ sabemos que a cada índice n (pertencente a $\mathbb{N}$) existirá um termo respectivo $2^n$ (pertencente a $S$).

Portanto, $S = (1, 2, 4, 8, 16, 32...)$

A correspondência entre cada termo da sucessão $S$ e o seu índice pode ser representada em uma tabela, como segue:

índice →	0	1	2	3	4	5	...	n
fórmula do termo →	20	21	2²	2³	24	25	...	2n
termo →	1	2	4	8	16	32	...	2n

2) Outro bom exemplo de sequência é a enumeração ordenada crescente dos números naturais não-nulos ($\mathbb{N}^*$):

$S = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...).$

Neste caso, a função $f:\mathbb{N}\mapsto S$ é tal que $f(n)=n+1.$

Tal qual no exemplo anterior, podemos utilizar uma tabela para representar os índices e termos da sucessão, assim como a relação que obtém cada termo a partir do seu índice:

índice →	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...	n
fórmula do termo →	0+1	1+1	2+1	3+1	4+1	5+1	6+1	7+1	8+1	9+1	10+1	11+1	...	n+1
termo →	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	n+1

Se $S$ for o conjunto dos inteiros ($\mathbb{Z}$), então tratar-se-á de uma sucessão inteira. Se $S$ for um conjunto de polinômios, então tratar-se-á de uma sucessão polinomial.

Em certos casos, pode-se falar em convergência e em divergência da sucessão. Isto é discutido em mais detalhes no artigo sobre limites.

A sintaxe na notação matemática

Para representar uma sucessão, também é comum o uso da notação {$a_{n}$}. Porém, os matemáticos mais formais tendem a rejeitar este formato. O motivo é que em matemática faz-se uso das chaves sempre que se deseja representar um conjunto através da enumeração dos seus elementos, ou quando se deseja dispor da sua lei de formação. Assim, pode-se por exemplo escrever o conjunto A = {2,4,8,16,32,64,128,256}, ou ainda representá-lo por A = {2^k | $k \in$ {1,2,3,4,5,6,7,8}}.

Nota: o conjunto A acima também pode ser entendido como o conjunto de todas as potências de base 2 e expoente k, em que k é um número natural que pertence ao conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8}. Portanto, A = {2¹,2²,2³,2⁴,2⁵,2⁶,2⁷,2⁸} = {2,4,8,16,32,64,128,256}.

O problema é que, em teoria dos conjuntos, a ordem e a frequência com que os elementos aparecem e se repetem nada afetam a estrutura do conjunto. Portanto, se B = {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2}, cada um dos elementos de B existe também em A (e vice-versa), e o fato de alguns elementos do conjunto B se repetirem pode (e deve) ser ignorado, pois elementos repetidos são computados somente uma vez, sendo indiferente representar B por {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2} ou sinteticamente por {8,256,64,16,2,128,4,32}. Portanto, embora a ordem em que aqueles elementos apareçam nos dois conjuntos seja diferente, e embora em B alguns elementos se repitam, na verdade A e B têm exatamente os mesmos elementos. Consequentemente, pode-se afirmar que A = B.

Por outro lado, quando se deseja representar um par ordenado, usam-se os parênteses: (x,y). Do mesmo modo, uma tripla ordenada poderia ser representada por (x,y,z) e uma quádrupla ordenada de números inteiros poderia ser representada por (-1000,2,68,-19).

A diferença essencial entre o par {x,y} e o par (x,y) é a questão da ordem: no caso do par {x,y} a ordem não importa, portanto o par {y,x} é igual ao par {x,y}, e ambos representam um conjunto que possui dois elementos: x e y.

Já o par ordenado (x,y) é diferente do par ordenado (y,x), pois neste caso a ordem importa (daí o uso da palavra ordenado). Isto explica o motivo por que, uma vez que os pares (2,3) e (3,2) são diferentes — e essa diferença está justamente na posição ocupada por cada um de seus elementos — é necessário que esses pares sejam representados entre parênteses, ao invés de entre chaves.

De maneira similar ao caso dos pares ordenados, uma sucessão possui uma ordem (determinada pelo índice de cada elemento da sucessão), e por isto escrever {1,2,3,4,5} é diferente de escrever (1,2,3,4,5). No caso do conjunto {1,2,3,4,5}, a ordem não importa, portanto o conjunto também poderia ser representado por {5,3,1,2,4}, e está correto escrever {1,2,3,4,5} = {5,3,1,2,4}. Já no caso do conjunto ordenado (1,2,3,4,5), também denominado ênupla ordenada ou n-upla ordenada, devido à presença de n termos ou elementos na sucessão (n = 5, neste caso), interessa a posição ocupada por cada elemento, e portanto (1,2,3,4,5) é diferente de (5,3,1,2,4).

Finalmente, tendo em vista que uma sucessão possui noção de ordem (devido ao estabelecimento de um índice de posição para cada elemento da sequência), é importante representar o conjunto dos n elementos da sucessão através da n-upla ordenada (a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n), o que pode ser abreviadamente representado por (a_n), e um matemático mais formal rejeitará a forma {a_n} por entender que, neste segundo caso, a noção de ordem foi desprezada.

Recursão

Nota: caso sinta dificuldade com o símbolos utilizados nesta seção, ou mesmo neste artigo, consulte os artigos que tratam de notação matemática, simbologia matemática e lógica matemática. Também é altamente recomendável consultar a tabela de símbolos matemáticos.

Pode-se definir uma sucessão de modo recursivo. Este modo consiste em estabelecer um ou mais termos iniciais e, a partir dele(s), atribuir uma lei de formação em que cada novo termo dependa do(s) termo(s) antecedente(s).

Os termos iniciais (ou geradores) deverão possuir índice menor que o do termo que se deseja gerar. Exemplo: para que seja possível gerar recursivamente o termo a_n, é necessário que exista pelo menos um termo de índice menor que n.

Assim, fixado um conjunto de constantes C = {c₀,c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆...} ($\sub\mathbb{N}$), uma sucessão recursiva genérica natural $S$ (com termo a₀ $\in \mathbb{N}$ pré-definido) pode ser definida por uma função $g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ que tenha a seguinte forma: $a_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}, \forall c,i,n \in \mathbb{N} \land \forall n>0$

Note que, no exemplo acima, devemos ter $n>0,$ uma vez que a₀ já está pré-definido. Portanto, se a₀ = w (um valor natural qualquer) e desejamos encontrar o valor de a₁, temos que realizar a seguinte sequência de cálculos: $a_{1}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i} \begin{matrix} _{_{(n=1)}} \\ \Rightarrow \end{matrix} a_{1}=\sum_{i=0}^{1-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}=\sum_{i=0}^{0} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . a_{0} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . w$ (RESPOSTA)

Do mesmo modo, se desejarmos encontrar o valor de a₂, deveremos realizar a seguinte sequência de cálculos: $a_{2}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i} \begin{matrix} _{_{(n=2)}} \\ \Rightarrow \end{matrix} a_{2}=\sum_{i=0}^{2-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}=\sum_{i=0}^{1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}= c_{0} . a_{0} + c_{1} . a_{1}$

$\Rightarrow a_{2}= c_{0} . w + c_{1} . (c_{0} . w) \Rightarrow a_{2}= c_{0} . (w + w. c_{1}) \Rightarrow a_{2}= c_{0} . w . (1 + c_{1}) \Leftrightarrow a_{2}= c_{0} . (1 + c_{1}) . w$ (RESPOSTA)

No caso acima, a escolha das constantes do conjunto C foi aleatória. Porém, pode-se também obter essas constantes de forma sistemática. A título de exemplo, sejam fixadas duas constantes naturais k e m (com k > m). As constantes c_i podem ser obtidas a partir de uma função $j:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que $j(i) = c_{i} = k.i - m, \forall c,i,k,m \in \mathbb{N}$

Esse tipo de sucessão pode ficar ainda mais complicado, bastando definir uma função r que, por exemplo, "transforme" a i-ésima constante natural c_i em um número real ($\mathbb{R}$) ou complexo ($\mathbb{C}$). Exemplo:

$r:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} = \sqrt[3]{\frac{-x}{4}}, \forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow a_{n} = \sum_{i=0}^{n-1} {r(c_{i})^i . a_{i}}, \forall c,i,n \in \mathbb{N}$

Nota: observe que, no exemplo acima, $r(c_{i})^i \in \mathbb{R}$

Sucessão recursiva

Existem duas modalidades de sucessão recursiva muito conhecidas em matemática: a Progressão Aritmética (P.A.) e a Progressão Geométrica (P.G.).

A diferença essencial entre as duas é que:

• Na P.A., cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Esta razão é geralmente representada pela letra r;
• Na P.G., cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Esta razão é geralmente representada pela letra q.

Em P.A. e P.G., a função f que as descreve tem domínio em $\mathbb{N}^*.$ Isto significa que o primeiro termo da progressão será f(1) (ou então a₁), ao invés de f(0) ou a₀.

Progressão Aritmética

Ver artigo principal: Progressão aritmética

A Progressão Aritmética é uma sucessão recursiva $\mathbb{A}$ definida assim:

• $a:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{A}$

(definição da função a)

• $a_n = a_1 + (n-1).r$

(fórmula do termo geral)

• $a_n = a_{n-1} + r$

(fórmula da recursão aritmética, que é outra maneira de se calcular $a_n$)

• $a_1$ e r são constantes previamente definidas

Exemplos de P.A.:

• ($a_{1}$ = 1, r = 1): $(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$
• ($a_{1}$ = -3, r = 5): $(-3,2,7,12,17,22,27,...)$
• ($a_{1}$ = 13, r = -3): $(13,10,7,4,1,-2,-5...)$

Progressão Geométrica

Ver artigo principal: Progressão geométrica

A Progressão Geométrica é uma sucessão recursiva $\mathbb{G}$ definida assim:

• $g:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{G}$

(definição da função g)

• $g_n = g_1.q^{(n-1)}$

(fórmula do termo geral)

• $g_n = g_{n-1}.q$

(fórmula da recursão geométrica, que é outra maneira de se calcular $g_n$)

• $g_1$ e q são constantes previamente definidas

Exemplos de P.G.:

• ($g_{1}$ = 1, q = 1): $(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)$
• ($g_{1}$ = 3, q = -1): $(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)$
• $(g_{1} = 16, q = \frac{-1}{2}): (16,-8,4,-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}...)$

Ver também

• Fórmula do termo geral
• Progressão aritmética
• Progressão geométrica
• Sequência de Farey
• Sequência de Fibonacci
• Sequência de Thue-Morse
• Polinômios de Boubaker
• Sequência de Golomb

Ligações externas

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences - Para determinar a lei de formação de uma sequência, a partir de alguns de seus termos;

Referências

• Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
• Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.
• Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
• Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.
• Explicação de 6 páginas sobre sequências matemáticas