Tabela Price
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Tabela Price é um método usado em amortização de empréstimo, caracterizado por prestações iguais e desenvolvido em 1771 pelo reverendo presbiteriano Richard Price.
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[editar] Introdução
O método de amortização baseado nas tabelas de Richard Price, na realidade foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.
A principal característica da tabela Price, ou Sistema Francês de Amortização, são as prestações iguais. Este método foi denominado de tabelas de juro composto pelo seu autor Richard Price em sua obra Observations on Reversionary Payments. Esta é a única forma conhecida de pagamento de cálculo de empréstimos através de parcelas de igual valor.
[editar] Origens
Em fevereiro de 1723, início da revolução industrial nasce na Inglaterra Richard Price. Em 1740, após a morte de seu pai, Rhys Price, ministro calvinista de linha extremamente puritana e disciplinadora, o jovem Richard então com 17 anos muda-se para casa de seu tio Samuel Price em Londres. É nessa cidade que seus estudos foram completados na C. Academy, em Tenter Ailey, Moorfields., adquirindo instrução e influência de John Eames, matemático e amigo muito próximo do então falecido Isaac Newton.
Price permaneceu estudando até vindo a tornar-se ministro presbiteriano em 1748. Sua primeira assistência como ministro religioso foi para George Streatfield, um rico homem de negócios, que ao morrer deixou-lhe substanciosa herança. Tal fato, de certa forma, propiciou a tranqüilidade financeira que Price precisava para escrever, dando-se ao luxo de assumir uma pequena, porém ativa produção literária.
Em 1758 Price publica Review of the Principal Questions in Morals. Obra, á qual é considerada por muitos historiadores ingleses, como a mais importante de seu repertório. Pois, na verdade, e até hoje, Price é mais reconhecido por seus textos filosóficos, do que pelos seus estudos de matemática. Seus escritos provocaram um grande impacto na sociedade moralista e conservadora inglesa da época, pois propunham uma ampla revisão liberal das principais questões morais da época em uma Inglaterra conservadora e em transição para o Capitalismo Industrial.
Em 1769, a pedido da Equitable Society da Inglaterra (seguradora Inglesa), o Reverendo Richard Price produz uma de suas obras mais célebres no campo da estatística, Northampton Mortality Tables (Tábuas de Mortalidade de Northampton). Foram essas tábuas que serviram para posicionar a seguradora sobre as probabilidades de vida e de morte na Inglaterra, que serviriam como base de cálculo para seguro e aposentadoria. No entanto, viria a se descobrir mais tarde que as bases de cálculos das suas tábuas de mortalidade continham graves erros. Tal falha, além, das bases de dados inadequadas, foi originada principalmente pela estimativa invertida, muito acima da taxa de mortalidade nas pessoas mais jovens e abaixo nas pessoas mais velhas.
Mais grave, ele parece ter subestimado as expectativas de vida, com o resultado de que os prêmios dos seguros de vida foram muito maiores do que necessário.
"A Equitable Society floresceu graças a esse erro; o governo Britânico, usando as mesmas tabelas para determinar os pagamentos de anuidades aos seus pensionistas, amargou prejuízos. (BERSTEIN, 1996, p.130)"
A partir da elaboração dessas tábuas de mortalidade, Price publica, em 1771, Observations on Reversionary Payments (Observação sobre Devolução de Pagamentos Reversíveis), que viria a ser editada até a 7ª edição em 1812.
No entanto, é a partir de do prelúdio da segunda Revolução Industrial que a tabela Price ganha força na França como método de amortização de empréstimo pela necessidade de massificação de consumo, daí as origens do nome, Sistema Francês de amortização.
[editar] Cálculo
O processo de cálculo da tabela price é iterativo. Tomando como exemplo um empréstimo de R$ 30.000,00 para ser pago em 48 parcelas mensais, com juros de 1% ao mês.
A cada mês a partir do primeiro deve-se calcular o saldo devedor pelo seguinte processo:
- Multiplicar o saldo devedor do mês anterior por 1 + Juros;
- Subtrair o valor a ser pago;
- No último mês o saldo devedor deverá ser igual à zero.
Para determinar-se o valor da prestação deve-se repetir este processo por várias vezes até que obtenha o valor da prestação que satisfaz a última condição.
Por este método sabe-se que o valor da prestação será R$ 790,02. Desta forma têm-se a seguinte tabela:
| Mês | Juros | Amortização | Saldo Devedor | Cálculo para próximo mês |
| 0 | R$ 30.000,00 | R$ 30.300,00 | ||
| 1 | R$ 300,00 | R$ 490,02 | R$ 29.509,98 | R$ 29.805,08 |
| 2 | R$ 295,10 | R$ 494,92 | R$ 29.015,07 | R$ 29.305,22 |
| 3 | R$ 290,15 | R$ 499,86 | R$ 28.515,21 | R$ 28.800,36 |
| 4 | R$ 285,15 | R$ 504,86 | R$ 28.010,34 | R$ 28.290,45 |
| 5 | R$ 280,10 | R$ 509,91 | R$ 27.500,43 | R$ 27.775,44 |
| 6 | R$ 275,00 | R$ 515,01 | R$ 26.985,42 | R$ 27.255,27 |
| 7 | R$ 269,85 | R$ 520,16 | R$ 26.465,26 | R$ 26.729,91 |
| 8 | R$ 264,65 | R$ 525,36 | R$ 25.939,90 | R$ 26.199,30 |
| 9 | R$ 259,40 | R$ 530,62 | R$ 25.409,28 | R$ 25.663,37 |
| 10 | R$ 254,09 | R$ 535,92 | R$ 24.873,36 | R$ 25.122,09 |
| 11 | R$ 248,73 | R$ 541,28 | R$ 24.332,08 | R$ 24.575,40 |
| 12 | R$ 243,32 | R$ 546,69 | R$ 23.785,38 | R$ 24.023,24 |
| 13 | R$ 237,85 | R$ 552,16 | R$ 23.233,22 | R$ 23.465,55 |
| 14 | R$ 232,33 | R$ 557,68 | R$ 22.675,54 | R$ 22.902,29 |
| 15 | R$ 226,76 | R$ 563,26 | R$ 22.112,28 | R$ 22.333,40 |
| 16 | R$ 221,12 | R$ 568,89 | R$ 21.543,39 | R$ 21.758,82 |
| 17 | R$ 215,43 | R$ 574,58 | R$ 20.968,81 | R$ 21.178,49 |
| 18 | R$ 209,69 | R$ 580,33 | R$ 20.388,48 | R$ 20.592,36 |
| 19 | R$ 203,88 | R$ 586,13 | R$ 19.802,35 | R$ 20.000,37 |
| 20 | R$ 198,02 | R$ 591,99 | R$ 19.210,36 | R$ 19.402,46 |
| 21 | R$ 192,10 | R$ 597,91 | R$ 18.612,44 | R$ 18.798,57 |
| 22 | R$ 186,12 | R$ 603,89 | R$ 18.008,55 | R$ 18.188,64 |
| 23 | R$ 180,09 | R$ 609,93 | R$ 17.398,62 | R$ 17.572,61 |
| 24 | R$ 173,99 | R$ 616,03 | R$ 16.782,60 | R$ 16.950,42 |
| 25 | R$ 167,83 | R$ 622,19 | R$ 16.160,41 | R$ 16.322,01 |
| 26 | R$ 161,60 | R$ 628,41 | R$ 15.532,00 | R$ 15.687,32 |
| 27 | R$ 155,32 | R$ 634,70 | R$ 14.897,30 | R$ 15.046,27 |
| 28 | R$ 148,97 | R$ 641,04 | R$ 14.256,26 | R$ 14.398,82 |
| 29 | R$ 142,56 | R$ 647,45 | R$ 13.608,81 | R$ 13.744,89 |
| 30 | R$ 136,09 | R$ 653,93 | R$ 12.954,88 | R$ 13.084,43 |
| 31 | R$ 129,55 | R$ 660,47 | R$ 12.294,41 | R$ 12.417,36 |
| 32 | R$ 122,94 | R$ 667,07 | R$ 11.627,34 | R$ 11.743,62 |
| 33 | R$ 116,27 | R$ 673,74 | R$ 10.953,60 | R$ 11.063,14 |
| 34 | R$ 109,54 | R$ 680,48 | R$ 10.273,12 | R$ 10.375,85 |
| 35 | R$ 102,73 | R$ 687,28 | R$ 9.585,84 | R$ 9.681,70 |
| 36 | R$ 95,86 | R$ 694,16 | R$ 8.891,68 | R$ 8.980,60 |
| 37 | R$ 88,92 | R$ 701,10 | R$ 8.190,58 | R$ 8.272,49 |
| 38 | R$ 81,91 | R$ 708,11 | R$ 7.482,47 | R$ 7.557,30 |
| 39 | R$ 74,82 | R$ 715,19 | R$ 6.767,28 | R$ 6.834,96 |
| 40 | R$ 67,67 | R$ 722,34 | R$ 6.044,94 | R$ 6.105,39 |
| 41 | R$ 60,45 | R$ 729,57 | R$ 5.315,38 | R$ 5.368,53 |
| 42 | R$ 53,15 | R$ 736,86 | R$ 4.578,51 | R$ 4.624,30 |
| 43 | R$ 45,79 | R$ 744,23 | R$ 3.834,28 | R$ 3.872,63 |
| 44 | R$ 38,34 | R$ 751,67 | R$ 3.082,61 | R$ 3.113,44 |
| 45 | R$ 30,83 | R$ 759,19 | R$ 2.323,42 | R$ 2.346,66 |
| 46 | R$ 23,23 | R$ 766,78 | R$ 1.556,64 | R$ 1.572,21 |
| 47 | R$ 15,57 | R$ 774,45 | R$ 782,19 | R$ 790,02 |
| 48 | R$ 7,82 | R$ 782,19 | R$ 0,00 | |
| Soma | R$ 7.920,72 | R$30.000,00 |
As colunas tem os seguintes significados:
- Juros: A quantidade de juros cobrados no período;
- Amortização: O quanto da dívida foi paga após ter sido efetuado o pagamento dos juros do período;
- Saldo Devedor: O quanto da dívida está pendente para ser paga;
- Cálculo para próximo mês: O valor da dívida remanescente após o pagamento dos juros e da amortização do perído.
Nota-se que, caso seja interpretado que a amortização paga primeiro os juros e depois reduz o saldo devedor, então em nenhum momento são cobrados juros sobre juros (anatocismo). Caso seja interpretado que a amortização paga primeiro o saldo devedor, então os juros são incorporados ao saldo devedor e ocorre o anatocismo. Esta é uma questão antiga que é facilmente superada pois os juros são pagos mês a mês. Caso contrário no Sistema SAC (amortização constante) também se teria a existência de anatocismo, bem como em qualquer tipo de pagamento em prestações.
[editar] Método Analítico
Aplicando a regra de Price sucessivamente observa-se que o saldo devedor para um período n pode ser escrito na forma:
Onde:
-
- Sn, n natural: Saldo devedor no período n;
- j: Taxa de juros, 1% equivale à 0.01;
- p: Valor da prestação;
Ou seja:
mas 
, logo:
Considerando que o saldo final Sn é zero e que o saldo inicial S0 é P:
Aplicando-se a fórmula da soma de uma progressão geométrica e rearrumando:
[editar] Polêmica sobre os juros
A tabela foi construída, segundo seu autor Richard Price (p.262-287,1803- 1812), por juros compostos. Juros compostos são muitas vezes confundidos com anatocismo [1]).
Existem questionamentos sobre se a Tabela Price emprega juros simples ou juros compostos.
Entretanto, a questão matemática fica superada quando nos deparamos com a afirmativa do próprio Richard Price de que suas tabelas são construídas por juro composto (p.262-287,1803- 1812), jamais mencionando a existência de cobrança de juros sobre juros acumulados no empréstimo. Além de o próprio Richard Price selar esta questão, pois ele é o autor da obra, em recente declaração, documentada, os principais autores de matemática financeira do Brasil assinaram um manifesto cuja tônica é a afirmativa de que a Tabela Price é construída com base no regime de capitalização por juro composto [2], sem, novamente, ser abordada a remota hipótese de existir o anatocismo.
Destaca-se também que o próprio Banco Central do Brasil expõe textualmente que a referida metodologia é concebida pelo regime de juros composto (vide no Banco Central do Brasil -Metodologia em calculadora do cidadão[3]. Vale acrescentar que juros compostos é uma forma de medida do valor dos juros cobrado, não significando a existência do anatocismo. Um emprestimo a ser pago em parcela única a ser vencida em doze meses pode ter o seu cálculo efetuado por juros compostos sem que em qualquer momento juros sejam incorporados à dívida.
[editar] Tabela Price no Brasil
No Brasil, a interpretação matemática da existência de juro composto (vide termo sinônimo no STJ)[4]) na Tabela Price fica condicionada a fórmula anterior, que estabelece como regra geral na formação dos juros embutidos nas parcelas uma progressão Geométrica decrescente, ou seja do maior para o menor. Vale ressaltar que juros compostos é uma unidade de medida, assim como juros contínuos ou juros simples. Em uma mesma série de pagamentos, podemos medir o custo financeiro por diversas unidades de medida, especialmente juros compostos e juros contínuos. A proibição legal no Brasil é a cobrança de juros sobre juros já cobrados do mutuário.
Apesar de amplamente utilizada em todo o mundo ocidental, a metodologia de cálculo é discutida em alguns países do mundo, por ser o único sistema que permite o pagamento em parcelas iguais e periódicas ao longo do prazo do empréstimo.
Embora a tabela Price ou Sistema Francês de Amortização seja também muito utilizada no Brasil pelo mercado e segmentos financeiros, seu uso tem sido contestado perante a justiça brasileira, uma vez que a legislação brasileira permite o uso de juros compostos somente em determinadas operações que possuam previsão legal e o sistema previsto pela tabela price é erradamente confundido com anatocismo.
"A aplicação da Tabela Price aos contratos de prestações diferidas no tempo impõe excessiva onerosidade aos mutuários devedores do SFH, pois no sistema em que a mencionada Tabela é aplicada, os juros crescem em progressão geométrica, sendo que, quanto maior quantidade de parcelas a serem pagas, maior será a quantidade de vezes que os juros se multiplicam por si mesmos, tornando o contrato, quando não impossível de se adimplir, pelo menos abusivo em relação ao mutuário, que vê sua dívida se estender indefinidamente e o valor do imóvel exorbitar até transfigurar-se inacessível e incompatível ontologicamente com os fins sociais do Sistema Financeiro da Habitação." (Min José Delgado, STJ, REsp 668795 / RS ; Recurso Especial2004/0123972-0, 2005). Falta a justiça brasileira entender que este é o único método que permite pagamentos iguais ao longo do período. E que em qualquer pagamento em prestações existe o errado entendimento da incidência de anatocismo. Se prevalecer este entendimento restará finalmente à justiça brasileira proibir todo e qualquer pagamento parcelado no Brasil.
Assim reza a Súmula 121 do Supremo Tribunal Federal (STF) Brasileiro: “É vedada a capitalização mensal de juros, ainda que expressamente convencionada” e que é erradamente confundido com juros compostos que nada mais é que uma unidade de medida dos juros cobrados.
É muito conhecido o trecho do texto de Price para definir a transferência de renda pelo juro composto de suas tabelas:
Um centavo de libra emprestado na data de nascimento de nosso Salvador a um juro composto de cinco por cento teria, no presente ano de 1781, resultado em um montante maior do que o contido em DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. Porém, caso ele tivesse sido emprestado a juro simples ele teria, no mesmo período, totalizado não mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS.(Nogueira, 2002, Tabela price da Prova Documental e Precisa elucidação de seu anatocismo)
[editar] Bibliografia
- BOYER, C. História da matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 2002.
- CAVALHEIRO, Luiz A.F. Elementos de Matemática Financeira. Rio de Janeiro, Editora FGV, 11a ed., 1989.
- NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: da Prova Documental e Precisa Elucidação do seu Anatocismo, Servanda Ed., 2002.
- NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: Mitos e Paradigma Ed.Millennium, 2008.
- PEREIRA, Ernesto Luiz de Assis. Amortização de financiamentos por juros simples para o Sistema Financeiro da Habitação. Modelo de Gauss. No prelo
- PRICE, Richard. Observations on Reversionary Payments. Londres: Ed. T. Cadell, 4ª ed., 1783; 6ª ed., 1803; e 7ª ed., 1812.
- ROVINA, Edson. Tabela Price- verdades que incomodam. Disponível em <http://www.procon.sp.gov.br> capturado em 08/2007.
- SILVA, André Luiz Carvalhal. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Ed. Atlas, 2005.
- CAMPOS FILHO, Ademar et al. Declaração em defesa de uma Ciência Matemá¬tica e Financeira. Disponível no site do Sindicato dos Economistas do Estado de São Paulo, www.sindecon-esp.org.br/force_download.php?file=arq_sys/neodownload/defesa150704.pdf&name=defesa 150704.pdf. Acesso em 9/2006.
- LEWIN, F. I. A.; Early, F.S.S, N. Book on Compound Interest, Richard Witt’s Arithmeticall Questions. JIA, 1970, p. 121-132.
- MARX, Karl. O Capital: Crítica da Economia Política; O Processo Global de Produção Capitalista. Cap. XXIV, vol. V, l. III . São Paulo: Nova Cultural, p. 455-456.
- FIGUEIREDO, Alcio Manoel de Sousa. Tabela Price & Capitalização de Juros. Editora: Juruá ,2004
