Tabela Price
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Tabela Price é um método usado em amortização de empréstimo, caracterizado por prestações iguais e desenvolvido em 1771 pelo reverendo presbiteriano Richard Price.
Índice |
[editar] Introdução
O método de amortização baseado nas tabelas de Richard Price, na realidade foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.
A principal característica da tabela Price, ou Sistema Francês de Amortização, são as prestações iguais. Este método foi denominado de tabelas de juro composto pelo seu autor Richard Price em sua obra Observations on Reversionary Payments. Esta não é a única forma conhecida de pagamento de cálculo de empréstimos através de parcelas de igual valor, Mclure (matemático norte americano) apud Simpson (Matemático inglês ) p.229, 1821 e Cavalheiro (Matemático brasileiro, FGV) p.129-131, 1989, dentre outros, apresentam fórmula de amortização em juros simples sem o uso de juros compostos (anatocismo) característicos da Tabela Price.
[editar] Origens
Em fevereiro de 1723, início da revolução industrial nasce na Inglaterra Richard Price. Em 1740, após a morte de seu pai, Rhys Price, ministro calvinista de linha extremamente puritana e disciplinadora, o jovem Richard então com 17 anos muda-se para casa de seu tio Samuel Price em Londres. É nessa cidade que seus estudos foram completados na C. Academy, em Tenter Ailey, Moorfields., adquirindo instrução e influência de John Eames, matemático e amigo muito próximo do então falecido Isaac Newton.
Price permaneceu estudando até vindo a tornar-se ministro presbiteriano em 1748. Sua primeira assistência como ministro religioso foi para George Streatfield, um rico homem de negócios, que ao morrer deixou-lhe substanciosa herança. Tal fato, de certa forma, propiciou a tranqüilidade financeira que Price precisava para escrever, dando-se ao luxo de assumir uma pequena, porém ativa produção literária.
Em 1758 Price publica Review of the Principal Questions in Morals. Obra, á qual é considerada por muitos historiadores ingleses, como a mais importante de seu repertório. Pois, na verdade, e até hoje, Price é mais reconhecido por seus textos filosóficos, do que pelos seus estudos de matemática. Seus escritos provocaram um grande impacto na sociedade moralista e conservadora inglesa da época, pois propunham uma ampla revisão liberal das principais questões morais da época em uma Inglaterra conservadora e em transição para o Capitalismo Industrial.
Em 1769, a pedido da Equitable Society da Inglaterra (seguradora Inglesa), o Reverendo Richard Price produz uma de suas obras mais célebres no campo da estatística, Northampton Mortality Tables (Tábuas de Mortalidade de Northampton). Foram essas tábuas que serviram para posicionar a seguradora sobre as probabilidades de vida e de morte na Inglaterra, que serviriam como base de cálculo para seguro e aposentadoria. No entanto, viria a se descobrir mais tarde que as bases de cálculos das suas tábuas de mortalidade continham graves erros. Tal falha, além, das bases de dados inadequadas, foi originada principalmente pela estimativa invertida, muito acima da taxa de mortalidade nas pessoas mais jovens e abaixo nas pessoas mais velhas.
Mais grave, ele parece ter subestimado as expectativas de vida, com o resultado de que os prêmios dos seguros de vida foram muito maiores do que necessário.
"A Equitable Society floresceu graças a esse erro; o governo Britânico, usando as mesmas tabelas para determinar os pagamentos de anuidades aos seus pensionistas, amargou prejuízos. (BERSTEIN, 1996, p.130)"
A partir da elaboração dessas tábuas de mortalidade, Price publica, em 1771, Observations on Reversionary Payments (Observação sobre Devolução de Pagamentos Reversíveis), que viria a ser editada até a 7ª edição em 1812.
No entanto, é a partir de do prelúdio da segunda Revolução Industrial que a tabela Price ganha força na França como método de amortização de empréstimo pela necessidade de massificação de consumo, daí as origens do nome, Sistema Francês de amortização.
[editar] Cálculo
O processo de cálculo da tabela price é iterativo. Tomando como exemplo um empréstimo de R$ 30.000,00 para ser pago em 48 parcelas mensais, com juros de 1% ao mês.
A cada mês a partir do primeiro deve-se calcular o saldo devedor pelo seguinte processo:
- Multiplicar o saldo devedor do mês anterior por 1 + Juros;
- Subtrair o valor a ser pago;
- No último mês o saldo devedor deverá ser igual a zero.
Para determinar-se o valor da prestação deve-se repetir este processo por várias vezes até que obtenha o valor da prestação que satisfaz a última condição. Por este método sabe-se que o valor da prestação será R$ 790,02. O usuário deve observar atentamente que quando a tabela é escrita de forma sucinta e sem dissimulação que o Saldo devedor pode ser apurado facilmente da seguinte forma: Saldo devedor = Capital Inicial – Parcelas Pagas + Juros passados incorporados Por exemplo, se desejarmos saber qual é o valor do Juro da 4ª parcela: 30.000,00 (Capital Inicial) - R$ 2.370,06 (três parcelas pagas)+ R$ 885,25 (soma dos valores de juros de três parcelas incorporados)= R$ 28.515,19 (confira na tabela acima) Juros da 4ª Parcela =28.515,19 (Saldo devedor com Juros Incorporados)x 1% (taxa do exemplo)=285,15(confira o valor de juros da 4ª parcela na tabela acima)
Desta forma tem-se a seguinte tabela:
| Mês | Juros | Amortização | Saldo Devedor | Cálculo para próximo mês |
| 0 | R$ 30.000,00 | R$ 30.300,00 | ||
| 1 | R$ 300,00 | R$ 490,02 | R$ 29.509,98 | R$ 29.805,08 |
| 2 | R$ 295,10 | R$ 494,92 | R$ 29.015,07 | R$ 29.305,22 |
| 3 | R$ 290,15 | R$ 499,86 | R$ 28.515,21 | R$ 28.800,36 |
| 4 | R$ 285,15 | R$ 504,86 | R$ 28.010,34 | R$ 28.290,45 |
| 5 | R$ 280,10 | R$ 509,91 | R$ 27.500,43 | R$ 27.775,44 |
| 6 | R$ 275,00 | R$ 515,01 | R$ 26.985,42 | R$ 27.255,27 |
| 7 | R$ 269,85 | R$ 520,16 | R$ 26.465,26 | R$ 26.729,91 |
| 8 | R$ 264,65 | R$ 525,36 | R$ 25.939,90 | R$ 26.199,30 |
| 9 | R$ 259,40 | R$ 530,62 | R$ 25.409,28 | R$ 25.663,37 |
| 10 | R$ 254,09 | R$ 535,92 | R$ 24.873,36 | R$ 25.122,09 |
| 11 | R$ 248,73 | R$ 541,28 | R$ 24.332,08 | R$ 24.575,40 |
| 12 | R$ 243,32 | R$ 546,69 | R$ 23.785,38 | R$ 24.023,24 |
| 13 | R$ 237,85 | R$ 552,16 | R$ 23.233,22 | R$ 23.465,55 |
| 14 | R$ 232,33 | R$ 557,68 | R$ 22.675,54 | R$ 22.902,29 |
| 15 | R$ 226,76 | R$ 563,26 | R$ 22.112,28 | R$ 22.333,40 |
| 16 | R$ 221,12 | R$ 568,89 | R$ 21.543,39 | R$ 21.758,82 |
| 17 | R$ 215,43 | R$ 574,58 | R$ 20.968,81 | R$ 21.178,49 |
| 18 | R$ 209,69 | R$ 580,33 | R$ 20.388,48 | R$ 20.592,36 |
| 19 | R$ 203,88 | R$ 586,13 | R$ 19.802,35 | R$ 20.000,37 |
| 20 | R$ 198,02 | R$ 591,99 | R$ 19.210,36 | R$ 19.402,46 |
| 21 | R$ 192,10 | R$ 597,91 | R$ 18.612,44 | R$ 18.798,57 |
| 22 | R$ 186,12 | R$ 603,89 | R$ 18.008,55 | R$ 18.188,64 |
| 23 | R$ 180,09 | R$ 609,93 | R$ 17.398,62 | R$ 17.572,61 |
| 24 | R$ 173,99 | R$ 616,03 | R$ 16.782,60 | R$ 16.950,42 |
| 25 | R$ 167,83 | R$ 622,19 | R$ 16.160,41 | R$ 16.322,01 |
| 26 | R$ 161,60 | R$ 628,41 | R$ 15.532,00 | R$ 15.687,32 |
| 27 | R$ 155,32 | R$ 634,70 | R$ 14.897,30 | R$ 15.046,27 |
| 28 | R$ 148,97 | R$ 641,04 | R$ 14.256,26 | R$ 14.398,82 |
| 29 | R$ 142,56 | R$ 647,45 | R$ 13.608,81 | R$ 13.744,89 |
| 30 | R$ 136,09 | R$ 653,93 | R$ 12.954,88 | R$ 13.084,43 |
| 31 | R$ 129,55 | R$ 660,47 | R$ 12.294,41 | R$ 12.417,36 |
| 32 | R$ 122,94 | R$ 667,07 | R$ 11.627,34 | R$ 11.743,62 |
| 33 | R$ 116,27 | R$ 673,74 | R$ 10.953,60 | R$ 11.063,14 |
| 34 | R$ 109,54 | R$ 680,48 | R$ 10.273,12 | R$ 10.375,85 |
| 35 | R$ 102,73 | R$ 687,28 | R$ 9.585,84 | R$ 9.681,70 |
| 36 | R$ 95,86 | R$ 694,16 | R$ 8.891,68 | R$ 8.980,60 |
| 37 | R$ 88,92 | R$ 701,10 | R$ 8.190,58 | R$ 8.272,49 |
| 38 | R$ 81,91 | R$ 708,11 | R$ 7.482,47 | R$ 7.557,30 |
| 39 | R$ 74,82 | R$ 715,19 | R$ 6.767,28 | R$ 6.834,96 |
| 40 | R$ 67,67 | R$ 722,34 | R$ 6.044,94 | R$ 6.105,39 |
| 41 | R$ 60,45 | R$ 729,57 | R$ 5.315,38 | R$ 5.368,53 |
| 42 | R$ 53,15 | R$ 736,86 | R$ 4.578,51 | R$ 4.624,30 |
| 43 | R$ 45,79 | R$ 744,23 | R$ 3.834,28 | R$ 3.872,63 |
| 44 | R$ 38,34 | R$ 751,67 | R$ 3.082,61 | R$ 3.113,44 |
| 45 | R$ 30,83 | R$ 759,19 | R$ 2.323,42 | R$ 2.346,66 |
| 46 | R$ 23,23 | R$ 766,78 | R$ 1.556,64 | R$ 1.572,21 |
| 47 | R$ 15,57 | R$ 774,45 | R$ 782,19 | R$ 790,02 |
| 48 | R$ 7,82 | R$ 782,19 | R$ 0,00 | |
| Soma | R$ 7.920,72 | R$30.000,00 |
As colunas têm os seguintes significados:
- Juros: a quantidade de juros cobrados no período;
- Amortização: o quanto da dívida foi paga após ter sido efetuado o pagamento dos juros do período;
- Saldo Devedor: o quanto da dívida está pendente para ser paga;Saldo devedor = Capital Inicial – Parcelas Pagas + Juros passados incorporados.(vide exemplo anterior)
- Cálculo para próximo mês: o valor da dívida remanescente após o pagamento dos juros e da amortização do período.
Nota-se que, que a amortização é independente dos juros, ela representa somente a parte do capital que está contida na parcela total que se paga. A amortização nunca paga os juros, somente o Capital, para tanto, basta somar a coluna, amortização da tabela acima para comprovar que seu resultado é igual ao Capital Inicial. Como demonstrado, a parte do juro que compõe a parcela, se incorpora ao Capital inicial ( Saldo Devedor= Capital Inicial – Parcelas Pagas + Juros passados incorporados), formando o ciclo algébrico que identifica o regime de juros compostos ou anatocismo na tabela Price (vide último parágrafo do site do STJ a respeito da sinonímia entre juros compostos e anatocismo[1]
[editar] Método Analítico
Aplicando a regra de Price sucessivamente observa-se que o saldo devedor para um período n pode ser escrito na forma:
Onde:
-
- Sn, n natural: Saldo devedor no período n;
- j: Taxa de juros, 1% equivale a 0,01;
- p: Valor da prestação;
Ou seja:
mas 
, logo:
Considerando que o saldo final Sn é zero e que o saldo inicial S0 é P:
Aplicando-se a fórmula da soma de uma progressão geométrica e rearrumando:
[editar] Polêmica sobre os juros
A tabela foi construída, segundo seu autor Richard Price (p.262-287,1803- 1812), por juros compostos. Juro Composto é sinônimo de anatocismo (vide último parágrafo do site do STJ a respeito da sinonímia entre juros compostos e anatocismo[2]
Somente existe questionamento sobre se a Tabela Price emprega juros simples ou juros compostos na visão dos leigos.
Entretanto, a questão matemática fica superada quando nos deparamos com a afirmativa do próprio Richard Price de que suas tabelas são construídas por juro composto (p.262-287,1803- 1812), jamais mencionando a existência de cobrança de juros sobre juros acumulados no empréstimo. Além de o próprio Richard Price selar esta questão, pois ele é o autor da obra, em recente declaração, documentada, os principais autores de matemática financeira do Brasil assinaram um manifesto cuja tônica é a afirmativa de que a Tabela Price é construída com base no regime de capitalização por juro composto [3],indentificando claramente a questão da incidência de Juros Compostos na tabela Price
Destaca-se também que o próprio Banco Central do Brasil expõe textualmente que a referida metodologia é concebida pelo regime de juros composto (vide no Banco Central do Brasil -Metodologia em calculadora do cidadão[4]. Vale acrescentar que juros compostos é um dos regimes de Capitalização e o anatocismo somente existe em função deste sistema de Capitalização.Por, exemplo, um empréstimo a ser pago em parcela única a ser vencida em doze meses pode ter o seu cálculo efetuado por juros compostos incidindo os juros sobre juros no momento do pagamento, assim, por exemplo, se um Capital de R$ 100.000,00 a 1% ao mês capitalizado pelo regime de juros compostos em 12 meses e em pagamento por única parcela ao final deste tempo corresponderá a um montante de R$112.682,50 e não a R$ 112.000,00 (montante em regime de capitalização por juros simples), nota-se que ao valor de R$ 100.000,00 foram acrescidos juros sobre juros. R$112.682,50 = R$100.000,00 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01 x 1,01.
[editar] Tabela Price no Brasil
No Brasil, a interpretação matemática da existência de juro composto (vide último parágrafo do site do STJ a respeito da sinonímia entre juros compostos e anatocismo[5] na Tabela Price fica condicionada a fórmula anterior, que estabelece como regra geral na formação dos juros embutidos nas parcelas da tabela Price uma progressão Geométrica decrescente, ou seja do maior juro para o menor juro. Vale ressaltar que juros compostos é um regime de Capitalização que pode ser dividido em discreto e contínuo e seus resultados quando o período de empréstimo for maior do que 1 (uma parcela) é sempre maior que o resultado de juros simples. Em uma mesma série de pagamentos, podemos medir de maneira equivalente o custo financeiro por diversas unidades de medida,que a depender do período especialmente quando maior que 1(um) os juros compostos discretos são menores que os juros compostos contínuos e ambos são maiores que os juros simples. Apesar de amplamente utilizada em todo o mundo ocidental, a metodologia de cálculo é discutida em vários países do mundo, destruindo o argumento de que único sistema que permite o pagamento em parcelas iguais e periódicas ao longo do prazo do empréstimo, uma vez que Mclure (matemático norte americano) apud Simpson (Matemático inglês ) p.229, 1821, dentre outros, apresentam fórmula de amortização em juros simples sem o uso de juros compostos (anatocismo) característicos da Tabela Price.
Embora a tabela Price ou Sistema Francês de Amortização seja também muito utilizada no Brasil pelo mercado e segmentos financeiros, seu uso tem sido contestado perante a justiça brasileira, uma vez que a legislação brasileira somente permite o uso de juros compostos em determinadas operações que possuam previsão legal e o sistema previsto pela tabela price somente seria legal caso tenha esta previsão de lei. Seguramente a Tabela Price aliada as altas taxas de juros provoca efeitos arrasadores.Tal como o próprio Richard Price alerta ao longo de seus teoremas, seguramente, a Tabela Price aliada às altas taxas de juros e ao longo prazo provoca efeitos arrasadores, uma vez que quanto maior o prazo e maior a taxa mais a amortização se aproxima de zero. Assim por exemplo se calcularmos R$ 100.000,00 em 200 pagamentos a 10% ao mês teremos que o valor da parcela será de R$ 10.000,00, ou seja, será equivalente somente ao pagamento de juros não amortizando o principal, tornando-se assim em renda perpétua. Acórdão "A aplicação da Tabela Price aos contratos de prestações diferidas no tempo impõe excessiva onerosidade aos mutuários devedores do SFH, pois no sistema em que a mencionada Tabela é aplicada, os juros crescem em progressão geométrica, sendo que, quanto maior quantidade de parcelas a serem pagas, maior será a quantidade de vezes que os juros se multiplicam por si mesmos, tornando o contrato, quando não impossível de se adimplir, pelo menos abusivo em relação ao mutuário, que vê sua dívida se estender indefinidamente e o valor do imóvel exorbitar até transfigurar-se inacessível e incompatível ontologicamente com os fins sociais do Sistema Financeiro da Habitação." (Min José Delgado, STJ, REsp 668795 / RS ; Recurso Especial2004/0123972-0, 2005). Assim reza a Súmula 121 do Supremo Tribunal Federal (STF) Brasileiro: “É vedada a capitalização mensal de juros, ainda que expressamente convencionada” É muito conhecido o trecho do texto de Price para definir a transferência de renda pelo juro composto de suas tabelas:
Um centavo de libra emprestado na data de nascimento de nosso Salvador a um juro composto de cinco por cento teria, no presente ano de 1781, resultado em um montante maior do que o contido em DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. Porém, caso ele tivesse sido emprestado a juro simples ele teria, no mesmo período, totalizado não mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS.(Nogueira, 2002, Tabela price da Prova Documental e Precisa elucidação de seu anatocismo)
[editar] Bibliografia
- BOYER, C. História da matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 2002.
- CAVALHEIRO, Luiz A.F. Elementos de Matemática Financeira. Rio de Janeiro, Editora FGV, 11a ed., 1989.
- NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: da Prova Documental e Precisa Elucidação do seu Anatocismo, Servanda Ed., 2002.
- NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: Mitos e Paradigma Ed.Millennium, 2008.
- PEREIRA, Ernesto Luiz de Assis. Amortização de financiamentos por juros simples para o Sistema Financeiro da Habitação. Modelo de Gauss. No prelo
- PRICE, Richard. Observations on Reversionary Payments. Londres: Ed. T. Cadell, 4ª ed., 1783; 6ª ed., 1803; e 7ª ed., 1812.
- ROVINA, Edson. Tabela Price- verdades que incomodam. Disponível em <http://www.procon.sp.gov.br> capturado em 08/2007.
- SILVA, André Luiz Carvalhal. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Ed. Atlas, 2005.
- CAMPOS FILHO, Ademar et al. Declaração em defesa de uma Ciência Matemá¬tica e Financeira. Disponível no site do Sindicato dos Economistas do Estado de São Paulo, www.sindecon-esp.org.br/force_download.php?file=arq_sys/neodownload/defesa150704.pdf&name=defesa 150704.pdf. Acesso em 9/2006.
- LEWIN, F. I. A.; Early, F.S.S, N. Book on Compound Interest, Richard Witt’s Arithmeticall Questions. JIA, 1970, p. 121-132.
- MARX, Karl. O Capital: Crítica da Economia Política; O Processo Global de Produção Capitalista. Cap. XXIV, vol. V, l. III . São Paulo: Nova Cultural, p. 455-456.
- FIGUEIREDO, Alcio Manoel de Sousa. Tabela Price & Capitalização de Juros. Editora: Juruá ,2004
