Juro

Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos.

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

História

Documentos históricos redigidos pela civilização suméria, por volta de 3000 a.C., revelam que o mundo antigo desenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em dois principais produtos, o grão e a prata. Antes de existirem as moedas, o empréstimo de metal era feito baseado em seu peso. Arqueólogos descobriram pedaços de metais que foram usados no comércio nas civilizações de Tróia, Babilônia, Egito e Pérsia. Antes do empréstimo em dinheiro ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica do comércio.

Na Idade Média, considerava-se crime ( chamado crime de usura), alguém emprestar dinheiro pretendendo receber uma quantia maior do que o valor emprestado após um tempo.

Existem diversas teorias que tentam explicar porque os juros existem. Uma delas é a teoria da Escola Austríaca, primeiramente desenvolvida por Eugen von Boehm-Bawerk. Ela afirma que os juros existem por causa da manifestação das preferências temporais dos consumidores, já que as pessoas preferem consumir no presente do que no futuro.

Taxa básica de juros

A taxa básica de juros corresponde à menor taxa de juros vigente em uma economia, funcionando como taxa de referência para todos os contratos. É também a taxa a que um banco empresta a outros bancos.

No Brasil, a taxa de juros básica é a taxa SELIC, que é definida pelo Comitê de Política Monetária (COPOM) do Banco Central, e corresponde à taxa de juros vigente no mercado interbancário, ou seja, é a taxa aplicada aos empréstimos entre bancos para operações de um dia (overnight) - operações estas lastreadas por títulos públicos federais. A taxa básica de juros, estabelecida pelo governo, através do Banco Central, para remunerar os títulos da dívida pública, é um importante instrumento de política monetária e fiscal. Em 20 de julho de 2011 a taxa básica de juros se elevou pela quinta vez seguida alcançando a marca de 12,5 pontos percentuais. O maior desde janeiro de 2009. Ao elevar a Selic, o objetivo do BC é fazer com que o custo do crediário também suba e, com isso, diminua o consumo da população para conter a alta da inflação.

De forma análoga, nos Estados Unidos, a taxa básica de juros é fixada pelo Comitê Federal de Mercado Aberto do Fed (o sistema de bancos centrais dos EUA), com base na remuneração dos Federal Funds, que são os títulos que lastreiam empréstimos interbancários overnight, que têm como finalidade a manutenção do nível das reservas bancárias depositadas no banco central.

Taxa preferencial de juros

A taxa preferencial de juros (em inglês, prime rate) é a taxa de juros bancária cobrada dos clientes preferenciais, isto é, aqueles que têm as melhores avaliações de crédito. É determinada pelas condições de mercado (custos bancários, expectativas inflacionárias, remuneração de outros ativos, etc.). Em geral, a taxa preferencial de juros adotada por grandes bancos tende a ser a referência para todo o setor bancário e normalmente será a menor taxa do mercado.

Geralmente a taxa preferencial supera em alguns pontos a taxa básica. Mas, na Inglaterra e na Eurozona, a taxa preferencial de juros corresponde exatamente à taxa vigente no mercado interbancário, e funciona como taxa básica de juros. É o caso da Libor e da Euribor. A Libor (London Interbank Offered Rate) é a taxa preferencial de juros que remunera grandes empréstimos entre os bancos internacionais operantes no mercado londrino e é também utilizada como base da remuneração de empréstimos em dólares a empresas e instituições governamentais. Euribor (Euro Interbank Offered Rate) é a taxa de juros usada nas operações interbancárias, feitas em euro, entre os países da Eurozona.

Juros simples

No regime dos juros simples, a taxa de juros é aplicada sobre o principal (valor emprestado) de forma linear, ou seja, não considera que o saldo da dívida aumenta ou diminui conforme o passar do tempo. A fórmula de juros simples pode ser escrita da seguinte maneira:

$FV=PV(1 + i \cdot n)$

, onde

• $FV:$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
• $PV:$ Valor Presente (do inglês Present Value)
• $i:$ Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
• $n:$ Número de períodos

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 ($PV = 100$) para pagar em 2 meses ($n = 2$) com taxa de juros de 10% ao mês ($i = 0,1$), calculados conforme o regime de juros simples. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $120, conforme a fórmula:

  $\begin{align}
   FV & = 100 \cdot \left ( 1 + 0,1 \cdot 2 \right ) \\
   & = 100 \cdot \left ( 1 + 0,2 \right ) \\
   & = 100 \cdot 1,2 \\
   & = 120
   \end{align}$

Juros compostos

No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira:

$FV=PV(1+i)^n\,$

, onde

• $FV:$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
• $PV:$ Valor Presente (do inglês Present Value)
• $i:$ Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
• $n:$ Número de períodos

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 ($PV = 100$) para pagar em 2 meses ($n = 2$) com taxa de juros de 10% ao mês ($i = 0,1$), calculados conforme o regime de juros compostos. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $121, conforme a fórmula:

  $\begin{align}
   FV & = 100 \cdot \left ( 1 + 0,1 \right )^2 \\
   & = 100 \cdot \left ( 1,1 \right )^2 \\
   & = 100 \cdot 1,1 \cdot 1,1 \\
   & = 110 \cdot 1,1 \\
   & = 121
   \end{align}$

Taxa de juros continuamente composta

O regime de juros compostos também pode ser expresso através da taxa de juros continuamente composta. Apesar de ter o mesmo funcionamento do regime de juros compostos, a taxa de juros continuamente composta apresenta uma fórmula de cálculo diferente. A fórmula da taxa de juros continuamente composta pode ser escrita da seguinte maneira:

$FV=PV \cdot e^{r \cdot n}\,$

, onde

• $FV:$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
• $PV:$ Valor Presente (do inglês Present Value)
• $r:$ Taxa de juros continuamente composta
• $n:$ Número de períodos
• $e:$ Número de Euler, que é equivalente a 2,718281828459...

O valor da taxa de juros $r$, que é continuamente composta, possui significado diferente do valor da taxa de juros $i$, usada na primeira fórmula. Porém, como ambas são usadas no regime de juros compostos, existe uma fórmula para fazer a "tradução" de uma taxa para outra:

$i=e^r-1\,$

ou, invertendo os termos,

$r=ln(i+1)\,$

Diferente da taxa de juros composta, a taxa de juros continuamente composta pode ser somada. Por exemplo, se a taxa de juros continuamente composta de janeiro é 3% e a de fevereiro é 4%, a taxa desse bimestre é 7% (esse cálculo não pode ser feito com taxas que não são continuamente compostas). Devido a essa propriedade, elas podem ser usadas para facilitar a interpretação e o tratamento de bases de dados, além de possibilitar que alguns tipos de modelos estatísticos sejam aplicados.

Apesar dessas vantagens, o uso da taxa continuamente composta está concentrado na área acadêmica e no mercado de capitais. Devido à dificuldade de interpretação e cálculo, essa taxa não é usada para divulgar empréstimos bancários ou alternativas de investimento para o público geral.

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 ($PV = 100$) para pagar em 2 meses ($n = 2$) com taxa de juros continuamente composta de 10% ao mês ($r = 0,1$). Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $122,14, conforme a fórmula:

  $\begin{align}
   FV & = 100 \cdot e ^{0,1 \cdot 2} \\
   & = 100 \cdot e^{0,2} \\
   & = 100 \cdot 2,718281828459 \cdots ^{0,2} \\
   & = 100 \cdot 1,2214 \\
   & = 122,14
   \end{align}$

Juros simples vs. compostos

A tabela abaixo mostra os valores de um empréstimo de $ 100 com taxa de juros de 10% ao período sob o regime de juros simples e juros compostos. Note que essa tabela apresenta três momentos diferentes:

• Para períodos inferiores a 1 ($n < 1$), o regime de juros simples apresenta valores superiores ao regime de juros compostos.
• No período 1, o valor é igual para ambos regimes.
• Para mais de um período, o regime de juros compostos apresenta valores superiores ao regime de juros simples.

$n$	Juros Simples	Juros Compostos
0,00	100,00	100,00
0,25	102,50	102,41
0,50	105,00	104,88
0,75	107,50	107,41
1,00	110,00	110,00
1,25	112,50	112,65
1,50	115,00	115,37
1,75	117,50	118,15
2,00	120,00	121,00
2,25	122,50	123,92

Taxa nominal vs. taxa real

A taxa de juros nominal é remuneração do empréstimo como foi explicado até este ponto. A taxa de juro real leva em consideração a variação verificada no índice de preços, reflectindo a alteração no poder de compra do dinheiro. O seu cálculo advém da equação de Fisher:

$1+i_r=\frac{1+i_n}{1+\pi}$

• $i_r:$ Taxa de juros real
• $i_n:$ Taxa de juros nominal
• $\pi:$ Taxa de inflação

Exemplo numérico

Durante um ano, uma pessoa contrai um empréstimo com uma taxa de juro nominal de 10% ($i_n = 0,1$), e durante o mesmo período o índice de preços cresce 5% - ou seja, a inflação é de 5% ($\pi = 0,05$). A taxa de juros real nesse caso é de 4,76%, conforme a fórmula:

  $\begin{align}
   1 + i_r & = \frac {1 + 0,1} {1 + 0,05} \\
   1 + i_r & = \frac {1,1} {1,05} \\
   i_r & = 1,0476 - 1 \\
   i_r & = 0,0476 \\
   i_r & = 4,76% \\
   \end{align}$

Ver também

• Matemática financeira
• Inflação
• Economia
• Macroeconomia
• Usura
• Amortização
• Anatocismo