Tempo local (matemática)

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Uma amostra de um trajeto de um processo Itō junto com sua superfície de tempos locais.

Na teoria matemática de processos estocásticos, tempo local é um processo estocástico associado com processos de difusão tais como o movimento Browniano, que caracteriza a quantidade de tempo que uma partícula dispende em um determinado nível.[1] O tempo local é muito útil e frequentemente aparece em várias fórmulas de integração estocástica se o integrando não é suficientemente derivável, tal como a fórmula de Tanaka.[2] [3] [4]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Matematicamente, a definição de tempo local é

\ell(t,x)=\int_0^t \delta(x-b(s))\,ds

onde b(s) é o processo de difusão e δ é a função delta de Dirac. É uma noção inventada por Paul Lévy. A ideia básica é que (tx) é um medida (reescalada) de quanto tempo b(s) tenha despendido em x até o tempo t. Pode ser escrito como

\ell(t,x)=\lim_{\varepsilon\downarrow 0} \frac{1}{2\varepsilon} \int_0^t 1\{ x- \varepsilon < b(s) < x+\varepsilon \} \, ds,

o que explica porque é chamado o tempo local de b em x.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. A. N. Borodin; Brownian local time; Russian Mathematical Surveys; Volume 44, Number 2; doi: 10.1070/RM1989v044n02ABEH002050
  2. Mihai Gradinaru, Bernard Roynette, Pierre Vallois and Marc Yor; The laws of Brownian local time integrals - hal.inria.fr (em inglês)
  3. Lin, Qian; Local time and Tanaka formula for G-Brownian Motion; Finance and Insurance-Stochastic Analysis and Practical Methods, Jena, March 06, 2009 - cdsweb.cern.ch
  4. Robert J. Adler and Marica Lewin; Local time and Tanaka formulae for super Brownian and super stable processes; Stochastic Processes and their Applications; Volume 41, Issue 1, May 1992, Pages 45-67; doi:10.1016/0304-4149(92)90146-H
  • K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0817633868 .