Tensor de Einstein

Em geometria diferencial, o tensor de Einstein (também tensor de traço revertido de Ricci), nomeado em relação a Albert Einstein, é usado para expressar a curvatura de uma variedade de Riemann. Em relatividade geral, o tensor de Einstein aparece nas equações de campo de Einstein para a gravitação descrevendo a curvatura do espaço-tempo.

Definição

O tensor de Einstein $\mathbf{G}$ é um tensor de ordem definido sobre variedades riemannianas. Ele é definido como

$\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R,$

sendo $\mathbf{R}$ o tensor de Ricci, $\mathbf{g}$ o tensor métrico e $R$ o escalar de curvatura de Ricci. Em notação com índices, o tensor de Einstein tem a forma

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R.$

Propriedades

O tensor de Einstein é simétrico, visto que o tensor de Ricci e o tensor métrico são simétricos,

$G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu}\,$.

O tensor de Einstein tem divergência nula, como pode-se demonstrar combinando as equações de campo de Einstein ao fato de que o tensor de energia-momento tem divergência nula

$G^{\mu\nu}{}_{; \nu} = 0\,.$.

Referências

• Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini. Gravitation and Spacetime. Second edition ed. [S.l.]: W. W. Norton & Company, 1994. ISBN 0-393-96501-5
• Martin, John Legat. General Relativity: A First Course for Physicists. Revised edition ed. [S.l.]: Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-291196-5